Home/ Intrebari/Q 92266
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Vasile Madalin
Pe: 2017-06-07T13:19:48+03:00 In: In:

Problema vectori

Salut,am urmatoarea problema:
ABC este un triunghi echilateral,O centrul cercului circumscris triunghiului ABC,P un punct din interiorul triunghiului si M,N,Q proiectiile lui P pe laturile triunghiului sa se arate ca PM+PN+PQ=3/2PO,PM,PN,PQ si PO sunt vectori…nu am stiut cum se face semnul de vector.

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Despre numerele x=PM, y=PN, z=PQ, eu stiu două lucruri:
    1) x+y+z=h;
    20 Tripletul (x,y,z) constituie un set de coordonate baricentrice ale punctului P în raport cu tripletul (A,B,C) de puncte
    necoliniare, adică un triplet de numere cu proprietatea x\vec{PA}+y\vec{PB}+z\vec{PC}=\vec{0},
    relatie echivalentă si cu x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}=(x+y+z)\vec{OP}=h\vec{OP}.
    Vectorii \vec{PM},\;\vec{AO} au aceeasi directie si sens, iar modulele lor sunt x, respectiv, 2h/3, deci
    \vec{PM}=\frac{3x}{2h}\vec{AO} si analoagele, asa ca:
    \vec{PM}+\vec{PN}+\vec{PQ}=\frac{3}{2h}(x\vec{AO}+y\vec{BO}+z\vec{CO})=\frac{3}{2h}\cdot h\vec{PO}=\frac{3}{2}\vec{PO}.

    Bonus: stim că \vec{PM}+\vec{PN}+\vec{PQ}=3\vec{PG}, unde G este centrul de greutate al triunghiului MNQ.
    Comparând cu relatia demonstrată: \vec{PG}=\frac{1}{2}\vec{PO}, deci G este mijlocul segmentului [PO].

  2. gigelmarga
    profesor

    Avem \overline{PM}=\frac12 (\overline{PC_1}+\overline{PC_2}) şi analoagele, deci, însumând şi rearanjând termenii, obţinem
    \overline{PM}+\overline{PN}+\overline{PQ}=\frac12 (\overline{PC_1}+\overline{PB_2}+\overline{PB_1}+\overline{PA_2}+\overline{PA_1}+\overline{PC_2})=\frac12(\overline{PA}+\overline{PC}+\overline{PB})=\frac32 \overline{PO}, căci O e şi centru de greutate.

Raspunde

Raspunde