Home/ Intrebari/Q 92067
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Lizu12
Pe: 2017-03-06T19:30:55+02:00 In: In:

Sir

Se considera functiile f,F:(0,\infty)->\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x^b} si F(x)=\frac{1}{1-b}x^{1-b}, b>1,b\in\mathbb{R}. Pentru n\in\mathbb{N}, n\geq1, definim sirula_n=f(1)+f(2)+...+f(n).
Sa se demonstreze ca a_n<\frac{b}{b-1}

Similare

2 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Lizu12 wrote: Se considera functiile f,F:(0,\infty)->\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x^b} si F(x)=\frac{1}{1-b}x^{1-b}, b>1,b\in\mathbb{R}. Pentru n\in\mathbb{N}, n\geq1, definim sirula_n=f(1)+f(2)+...+f(n).
    Sa se demonstreze ca a_n<\frac{b}{b-1}

    Indicatie. Se aplică teorema cresterilor finite functiei F, pe intervale de tipul [k,k+1], k natural.
    Folosind si monotonia lui f (care e derivata lui F) deducem o inegalitate de forma f(k+1)<F(k+1)-F(k).

  2. Lizu12

    \frac{1}{(k+1)^b}<F(k+1)-F(k)
    Pt.k=1=>\frac{1}{2^b}<F(2)-F(1)
    k=2=>\frac{1}{3^b}<F(3)-F(2)
    .
    .
    .
    k=n=>\frac{1}{(n+1)^b}<F(n+1)-F(n)
    Si ajung la:
    a_n+\frac{1}{(n+1)^b}-\frac{1}{1^b}<\frac{(n+1)^{1-b}}{1-b}-\frac{1}{1-b}
    a_n<\frac{n+b}{(1-b)(n+1)^b}+\frac{b}{b-1}

    Aici ar fi trebuit sa ajung?

Raspunde

Raspunde