Home/ Intrebari/Q 92048
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

liviu_paul98
Pe: 2017-02-27T14:55:44+02:00 In: In:

UTCN 596

f: \mathbb R -> \mathbb R, \: f(x) = \frac{\sin ^{2n}\left(x\right)}{\cos ^{2n}\left(x\right)+\sin ^{2n}\left(x\right)}

n este din N*, fixat (am incercat sa scriu Latex, dar nu functioneaza)

1) Aflati perioada principala a lui $f$.

Am folosit formula $\sin^2{x} = \frac{1-\cos{2x}}{2}$ , $\cos(2x)$ avand perioada principala $T = \pi$ am afirmat ca intreaga functie are aceeasi perioada principala. Este corect ?

2) Functia $f + c, c \in \mathbb R$ are o primitiva periodica daca si numai daca c are valoarea ? (Raspunsul este $\frac{-1}{2}$)

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    1) Răspunsul mi se pare corect.
    2) Dacă primitiva F are perioada T, atunci şi f o admite; cum cea mai mică perioadă a lui f este pi, atunci, dacă F este periodică,
    pi este cea mai mică perioadă posibilă şi pentru ea.
    \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f\Rightarrow \int_{0}^{\pi }f=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f cu schimbarea t=pi-x.
    \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2n}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos^{2n}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx cu t=(pi/2)-x. Atunci
    \int_{0}^{\pi }f=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx=\frac{\pi }{2}.
    Orice primitivă a lui f+c este de forma F(x)=k+\int_{0}^{x}(f(t)+c)dt.
    F(x+\pi )=F(x)\Leftrightarrow \int_{x}^{x+\pi }(f(t)+c)dt=0\;(\forall x)\Rightarrow \int_{0}^{\pi}(f(t)+c)dt=0\\\Rightarrow \frac{\pi }{2}+c\pi =0.

    Obs. Chiar dacă nu e clar că pi este perioada principală a lui F, aceasta trebuie totuşi să fie de forma mpi. Acest m apare
    şi în ultima relaţie, dar se simplifică.

  2. liviu_paul98

    ghioknt wrote: 1) Răspunsul mi se pare corect.
    2) Dacă primitiva F are perioada T, atunci şi f o admite; cum cea mai mică perioadă a lui f este pi, atunci, dacă F este periodică,
    pi este cea mai mică perioadă posibilă şi pentru ea.
    \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f\Rightarrow \int_{0}^{\pi }f=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f cu schimbarea t=pi-x.
    \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2n}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos^{2n}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx cu t=(pi/2)-x. Atunci
    \int_{0}^{\pi }f=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx=\frac{\pi }{2}.
    Orice primitivă a lui f+c este de forma F(x)=k+\int_{0}^{x}(f(t)+c)dt.
    F(x+\pi )=F(x)\Leftrightarrow \int_{x}^{x+\pi }(f(t)+c)dt=0\;(\forall x)\Rightarrow \int_{0}^{\pi}(f(t)+c)dt=0\\\Rightarrow \frac{\pi }{2}+c\pi =0.

    Obs. Chiar dacă nu e clar că pi este perioada principală a lui F, aceasta trebuie totuşi să fie de forma mpi. Acest m apare
    şi în ultima relaţie, dar se simplifică.

    Stiu ca e stupida intrebarea dar… de ce primitiva functiei are forma F(x)=k+\int_{0}^{x}(f(t)+c)dt. ? De unde acel k si de ce integrala de la 0 la x ? Multumesc frumos pentru rezolvare !

  4. ghioknt
    profesor

    Vei învăta în curând o teoremă foarte importantă:
    dacă f este o functie continuă pe un interval, atunci, pentru orice a din interval, functia F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt este
    o primitivă a lui f (si anume, primitiva care se anulează în a).
    Stii deja că oricare 2 primitive diferă printr-o constantă, de aici misteriosul k.

Raspunde

Raspunde