Ec de gr 2

Question

teodora_brb

Pe: 19 octombrie 20162016-10-19T10:20:52+03:00 2016-10-19T10:20:52+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Ec de gr 2

Buna,

Sa se determine numerele reale a si b astfel incat {x∈R | x^2+2ax+b=0}\{x∈R | x^2+2bx+a=0}=∅.

Va rog daca stie cineva cum se face acest exercitiu.

Am incercat sa pun toate conditiile care ar merge, ba primul determinant sa fie negativ, iar al doilea pozitiv, sau egal cu zero sau negativ. Ba ambii determinanti sa fie zero si radacinile diferite. Nu ajung la nimic frumos, ajung la multe litere pe care nu stiu cum sa le mai grupez. Am aflat ca s-ar face usor cu tabelul de variatie al functiei de gradul 2, dar inca nu am ajuns la acea lectie la scoala.

Va multumesc

17 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

A_Cristian · Answer 1 · 2016-10-19T11:21:58+03:00

Problema spune ca daca exista un x real care satisface x^2+2ax+b=0, atunci el trebuie neaparat sa satisfaca si cealalta ecuatie, adica x^2+2bx+a=0.

Fie A={x∈R | x^2+2ax+b=0} si B={x∈R | x^2+2bx+a=0}.
Mergem pe cazul cand A nu este vida. Fie t∈A. Atunci avem:
t^2+2at+b=0
t^2+2bt+a=0.

Scadem cele 2 relatii si obtinem ca 2t(a-b)=a-b.
Daca a=b, atunci A=B si nu trebuie sa mai studiem nimic. (Te rog sa spui exact de ce nu e nevoie).
Daca a<>b, atunci t=1/2. Acum putem calcula usor care sunt elementele multimii A si care sunt elementele multimii B. (Te rog sa spui exact ce elemente are A si ce elemente are B).

Spor si te astept cu solutia sau intrebari.

teodora_brb · Answer 2 · 2016-10-19T12:12:38+03:00

Multumesc mult de tot pt raspuns.

Deci cand a=b nu mai studiem nimic pt ca A fiind egala cu B inseamna ca diferenta e multimea vida, A nemaiavand si alte elemente diferite de cele ale lui B. Chestia e ca la final precizeaza ca daca a=b, a apartine intervalului (-infinit, 0] U [1, infinit] si nu stiu cum sa demonstrez asta.

Iar daca a<>b, atunci o sa avem a+b+1/4=0, a,b apartin R.

Si cand A e vida? scriem direct D<0, adica a^2<b si atat?

Va doresc multa sanatate !

A_Cristian · Answer 3 · 2016-10-19T12:41:20+03:00

Daca ai un raspuns diferit, inseamna ca n-ai postat complet problema. Este posibil sa fie niste conditii suplimentare, de exemplu ca A si/sau B sa nu fie vide. Asta ar duce la rezultatul afisat la finalul cartii/culegerii.

N-ai terminat cazul a<>b. In cazul asta stii deja o radacina si o poti afla pe cealalta foarte simplu. Singura chestie pe care trebuie s-o mai faci este sa verifici ca a doua radacina a ecuatie x^2+2ax-a-1/4=0 se afla si ea in B.

Vezi daca mai trebuie sa studiezi cazul cand A este vida.

teodora_brb · Answer 4 · 2016-10-19T13:01:56+03:00

Incerc aici sa pun pozele cu enuntul si raspunsul de la final.
Este exercitiul 1.
Imi pare rau de calitatea atat de proasta a pozelor.

„https://postimg.org/image/baejg3ab7/”>https://postimg.org/image/baejg3ab7

A_Cristian · Answer 5 · 2016-10-19T14:16:47+03:00

Daca a=b, atunci pe (0,1) avem ca a^2<a=b. De aici si al doilea raspuns. Insa eu am obtinut alte rezultate in ceea ce priveste a<>b. Tocmai de aceea te-am rugat sa identifici pe A si B in acel caz.
Asa ca te rog a 3-a oara sa spui cat sunt A si B atunci cand a+b+1/4=0.

Integrator · Answer 6 · 2016-10-19T17:08:04+03:00

teodora_brb wrote: Buna,

Sa se determine numerele reale a si b astfel incat {x∈R | x^2+2ax+b=0}\{x∈R | x^2+2bx+a=0}=∅.

Va rog daca stie cineva cum se face acest exercitiu.

Am incercat sa pun toate conditiile care ar merge, ba primul determinant sa fie negativ, iar al doilea pozitiv, sau egal cu zero sau negativ. Ba ambii determinanti sa fie zero si radacinile diferite. Nu ajung la nimic frumos, ajung la multe litere pe care nu stiu cum sa le mai grupez. Am aflat ca s-ar face usor cu tabelul de variatie al functiei de gradul 2, dar inca nu am ajuns la acea lectie la scoala.

Va multumesc

1) $A \setminus B=\emptyset$ pentru $a^2-b<0$ ceea ce este evident deoarece elementele multimii $A$ sunt numere complexe.

2) $A\setminus B=\emptyset$ pentru $a=b$ cu $a^2-a\geq 0$ adică pentru $a\in (-\infty,0] \cup [1,+\infty)$ deoarece cele două multimi au aceleasi elemente.

3) $A \setminus B=\emptyset$ pentru $-b\mp \sqrt{b^2-a}=-a\mp \sqrt{a^2-b}$ sau pentru $-b\mp \sqrt{b^2-a}=-a\pm \sqrt{a^2-b}$ sau pentru $-b\pm \sqrt{b^2-a}=-a\mp \sqrt{a^2-b}$ adică pentru $a=-b-\frac{1}{4}$ , deoarece cele două multimi au aceleasi elemente.Relatia $a=-b-\frac{1}{4}$ se obtine din rezolvarea ecuatiei de gradul III cu necunoscuta $a$ în functie ,de exemplu în acest caz, de parametrul $b$ stiind că $a,b \in \mathbb R$ .

A_Cristian · Answer 7 · 2016-10-19T19:47:41+03:00

1. Aveti un fetis cu numerele complexe. Pentru un elev de clasa a 9-a ele nu exista!!
2. Am intrebat deja de 3 ori care sunt multimile A si B in cazul in care a+b+1/4=0. Si din pacate, in loc sa-i aratati asta, ati trecut iarasi la o alta extrema si anume ecuatii de grad 3, in conditiile in care eleva abia invata ecuatia de grad 2.

Avem:
$x^2+2ax-a-\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x^2-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+2ax-a-\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x(x-\frac{1}{2})+2x(a+\frac{1}{4})-(a+\frac{1}{4})=0 \Leftrightarrow \\ x(x-\frac{1}{2})+(a+\frac{1}{4})(2x-1)=0 \Leftrightarrow x(x-\frac{1}{2})+(2a+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})(x+2a+\frac{1}{2})=0 \Rightarrow A=\left {\frac{1}{2}, -2a-\frac{1}{2} \right}$

Cred ca este absolut evident ca:
$B=\left {\frac{1}{2}, -2b-\frac{1}{2} \right} \Rightarrow B=\left {\frac{1}{2}, 2a \right}$
Mai departe avem de studiat exact 2 cazuri:
1. $-2a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ adica x=1/2 este radacina dubla.
2. $-2a-\frac{1}{2}=2a$ si ajungem ca a=b (ceea ce iarasi ne asteptam la un astfel de caz.

Integrator · Answer 8 · 2016-10-24T03:32:10+03:00

A_Cristian wrote: 1. Aveti un fetis cu numerele complexe. Pentru un elev de clasa a 9-a ele nu exista!!
2. Am intrebat deja de 3 ori care sunt multimile A si B in cazul in care a+b+1/4=0. Si din pacate, in loc sa-i aratati asta, ati trecut iarasi la o alta extrema si anume ecuatii de grad 3, in conditiile in care eleva abia invata ecuatia de grad 2.

1. Tocmai pentru că numerele complexe nu „există” la clasaIX-a , atunci cu atât mai mult diferenta dintre A si B este multimea vidă…Pentru că acel discriminat este mai mic ca zero.
2. Care sunt multimile A si B în cazul $a+b+\frac{1}{4}=0$ ?Cum rezolvati acest caz? 💡

A_Cristian · Answer 9 · 2016-10-24T07:19:42+03:00

1. Exact asta trebuia sa scrieti. Discriminantul este 0, deci multimea A este vida, de unde rezulta ca diferenta este multima vida.

2. Daca va uitati atent la postul meu, veti descoperi care sunt multimile A si B. Sunt scrise cu litere mari si acolade. Mai mult, am scris si care este rezolvarea. Daca vi se pare ca ceva este neclar, va rog sa citati solutia si sa spuneti ce anume nu este clar explicat.

Daca avem o ecuatie de grad 2 si stim o radacina, atunci automat vom sti si a doua radacina. Chiar si acest lucru l-am exemplificat in postul meu.

Integrator · Answer 10 · 2016-10-24T15:21:51+03:00

A_Cristian wrote: 1. Exact asta trebuia sa scrieti. Discriminantul este 0, deci multimea A este vida, de unde rezulta ca diferenta este multima vida.

2. Daca va uitati atent la postul meu, veti descoperi care sunt multimile A si B. Sunt scrise cu litere mari si acolade. Mai mult, am scris si care este rezolvarea. Daca vi se pare ca ceva este neclar, va rog sa citati solutia si sa spuneti ce anume nu este clar explicat.

Daca avem o ecuatie de grad 2 si stim o radacina, atunci automat vom sti si a doua radacina. Chiar si acest lucru l-am exemplificat in postul meu.

Fără supărare,dar nu-nteleg…
1. Discriminantul $\Delta =a^2-b<0$ este un caz pentru ca să avem $A\setminus B=\emptyset$ , iar discriminantul egal zero nu spune nimic dacă nu punem si conditia $a=b$ .
2. Ca să ajungeti să găsiti multimile $A$ si $B$ v-ati folosit de relatia $a+b+\frac{1}{4}=0$ ,relatie pe care de fapt trebuie să o găsim astfel ca $A\setminus B=\emptyset$ .Cum găsiti Dvs. relatia $a+b+\frac{1}{4}=0$ ?

ghioknt · Answer 11 · 2016-10-24T15:55:58+03:00

teodora_brb wrote:

Sa se determine numerele reale a si b astfel incat {x∈R | x^2+2ax+b=0}\{x∈R | x^2+2bx+a=0}=∅.

Imi permit să fac unele comentarii asupra acestei probleme.

1. Nu mi se pare normal să pretind să se determine anumite obiecte atunci când mulţimea soluţiilor este infinită.

2. Răspunsul meu la problema astfel formulată este: mulţimea A\B poate fi mulţimea vidă pentru orice valoare reală a parametrului a,
cât şi pentru orice valoare reală a parametrului b.

3. In realitate, obiectele care trebuie aflate aici nu sunt numerele reale a şi b, ci perechile de numere reale (a,b).
Dacă este ceva de determinat, aceea este mulţimea $M=\left \{ (a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|A\setminus B=\Phi \right \}$ .
A (deci şi A\B) este mulţimea vidă pentru b>a^2.
A are un singur element, pe -a, pentru b=a^2; acesta trebuie să fie şi în B, adică să verifice şi a doua ecuaţie: a^2-2a^3+a=0,
cu soluţiile 0, 1, -1/2, iar pentru b valorile corespunzătoare sunt 0, 1, 1/4.
A are 2 elemente pentru b<a^2, iar atunci cele două ecuaţii trebuie să aibă aceleaşi rădăcini. Rămânem cu ansamblul de
condiţii b=a şi a<a^2, adică $a\in (-\infty ;0)\cup (1,\infty )$ . Răspuns:
$M=\left \{ (a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|b>a^2 \right \}\cup \left \{ (a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|b=a\;si\;a\in (-\infty ;0)\cup (1,\infty ) \right \}\cup \left \{ (0,0),\;(1,1),(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}) \right \}=\\=\left \{ (a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|b>a^2 \right \}\cup \left \{ (a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|b=a\;si\;a\in (-\infty ;0]\cup [1,\infty ) \right \}\cup \left \{ (-\frac{1}{2},\frac{1}{4}) \right \}$ .

4. De ce discutăm despre a+b+1/4=0? Pentru că apare la răspuns? Atunci singurul subiect de conversaţie ar putea fi:
care este problema pentru care perechile de numere reale care verifică relaţia de mai sus sunt soluţii.

A_Cristian · Answer 12 · 2016-10-24T17:42:57+03:00

Integrator wrote:

1. Nu cred ca am zis undeva ca ar fi nevoie de acea conditie. Singura remarca la acest caz a fost mentionarea numerelor complexe pe care o consider inutila.

2. Ma citez:

A_Cristian wrote:
Mergem pe cazul cand A nu este vida. Fie t∈A. Atunci avem:
t^2+2at+b=0
t^2+2bt+a=0.

Scadem cele 2 relatii si obtinem ca 2t(a-b)=a-b.

De aici rezulta o conditie necesara, dar nu suficienta, si anume ca t=1/2.
Inlocuind pe t in ecuatiile initiale vom obtine:
a) (1/2)^2+2*(1/2)*a+b=0 adica a+b+1/4=0
b) (1/2)^2+2*(1/2)*b+a=0 adica a+b+1/4=0

Am mentionat doar acest caz pentru ca A= multime vida este un caz banal.

@ghioknt.
O problema poate avea mai multe rezolvari. a+b+1/4=0 apare strict din rezolvare pe care am incercat s-o schitez.

Integrator · Answer 13 · 2016-10-25T03:59:53+03:00

A_Cristian wrote: [quote=Integrator]
Fără supărare,dar nu-nteleg…
1. Discriminantul $\Delta =a^2-b<0$ este un caz pentru ca să avem $A\setminus B=\emptyset$ , iar discriminantul egal zero nu spune nimic dacă nu punem si conditia $a=b$ .
2. Ca să ajungeti să găsiti multimile $A$ si $B$ v-ati folosit de relatia $a+b+\frac{1}{4}=0$ ,relatie pe care de fapt trebuie să o găsim astfel ca $A\setminus B=\emptyset$ .Cum găsiti Dvs. relatia $a+b+\frac{1}{4}=0$ ?

1. Nu cred ca am zis undeva ca ar fi nevoie de acea conditie. Singura remarca la acest caz a fost mentionarea numerelor complexe pe care o consider inutila.

2. Ma citez:

A_Cristian wrote:
Mergem pe cazul cand A nu este vida. Fie t∈A. Atunci avem:
t^2+2at+b=0
t^2+2bt+a=0.

Scadem cele 2 relatii si obtinem ca 2t(a-b)=a-b.

De aici rezulta o conditie necesara, dar nu suficienta, si anume ca t=1/2.
Inlocuind pe t in ecuatiile initiale vom obtine:
a) (1/2)^2+2*(1/2)*a+b=0 adica a+b+1/4=0
b) (1/2)^2+2*(1/2)*b+a=0 adica a+b+1/4=0

Am mentionat doar acest caz pentru ca A= multime vida este un caz banal.

@ghioknt.
O problema poate avea mai multe rezolvari. a+b+1/4=0 apare strict din rezolvare pe care am incercat s-o schitez.
1. Repet:”Discriminantul $\Delta =a^2-b<0$ este un caz pentru ca să avem $A\setminus B=\emptyset$ , iar discriminantul egal zero nu spune nimic dacă nu punem si conditia $a=b$ .”
2. Am înteles , si rezolvarea Dvs. este elegantă pentru conditia $a+b+\frac{1}{4}=0$ care rezultă din faptul că $x=\frac{1}{2}$ …nu era necesar să puneti $t$ în loc de $x$ …
Multumesc mult pentru această rezolvare simplă si elegantă.

ghioknt · Answer 14 · 2016-10-25T07:52:18+03:00

Da, m-am lămurit. Condiţia a+b+1/4=0 provine de la răspunsuri. Acolo scrie clar că numerele reale a şi b care verifică asta
sunt soluţii ale problemei. Cum ar fi bunăoară a=-1/4 şi b=0. Aşa să fie? Rezolvând prima ecuaţie obţinem A={1/2; 0}, iar
rezolvând-o pe a doua obţinem B={-1/2; 1/2}, deci A\B={0} care nu înseamnă mulţimea vidă. Singurele soluţii care verifică
această relaţie îmi par a fi (-1/2,1/4), (-/1/8,-1/8). Dar ele sunt deja incluse în mulţimea soluţiilor fără ajutorul ei.

Tot de la răspunsuri provine şi nefericita notaţie A, B pentru cele 2 mulţimi, notaţie pe care am preluat-o cu toţii fără pic de simţ critic.
În realitate, în această problemă nu apar 2 mulţimi, ci 2 familii de mulţimi, iar notaţiile potrivite ar fi A(a,b), B(a,b), mai ales pentru
a atrage atenţia unor elevi de clasa a 9-a asupra faptului că „conţinuturile” celor 2 mulţimi depind de o pereche de numere reale.

A_Cristian · Answer 15 · 2016-10-25T08:23:22+03:00

@ghioknt

1. a+b+1/4=0 apare in solutia de la spatele culegerii, dar aparitia ei acolo nu are legatura cu rezolvarea propusa de mine. Este o ecuatie dedusa. Va rog sa revedeti posturile mele.

2. Eu cred ca am spus clar ca pt a+b+1/4=0 avem exact 2 solutii care satisfac conditia initiala, din care o solutie este inclusa in cazul a=b. In rest, este evident ca A\B nu va fi vida pentru perechile (a, -a-1/4).

3. Nu este prima data cand vad solutii gresite. Am vazut rezolvari gresite in culegeri semnate de profesori destul de importanti* in matematica.

importanti = propunatori si rezolvitori de probleme. nu ma refer la cercetare.

@Integrator
Am spus ca nu are sens studiul cazului banal b>a^2. Toate perechile de numere care satisfac aceasta relatie satisfac si cerinta problemei.
Pentru cazul a^2=b nu e nevoie de studiu separat pentru ca ne aflam deja in cazul in care A are cel putin un element. Iar acest caz l-am analizat complet.

LE: Cred ca ar fi interesant pentru elevi, in cazul in care mai urmareste vreunul acest topic, sa dam si o interpretare geometrica a solutiei.

ghioknt · Answer 16 · 2016-10-25T10:12:10+03:00

O interpretare geometrică a soluţiilor este aproape obligatorie. Punctele P(a,b) corespunzătoare soluţiilor problemei sunt:
regiunea din plan situată „deasupra” parabolei y=x^2, care este denumită şi interiorul parabolei (conţine focarul);
punctele dreptei y=x (prima bisectoare) dintre care cele coresponzătoare intervalului 0<x< 1 sunt incluse în interiorul parabolei,
aşa că mai rămân semidreptele ce corespund unui x din intervalele (-oo; 0], [1; oo);
punctul A(-1/2,1/4) situat pe parabolă.

teodora_brb · Answer 17 · 2016-10-30T19:50:18+02:00

teodora_brb

2016-10-30T19:50:18+02:00A raspuns pe 30 octombrie 2016 la 7:50 PM

Apreciez enorm toate raspunsurile.
Va multumesc mult tuturor

- 0
Raspunde

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Ec de gr 2

Similare

17 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul