limita grea

Sunteti sigura ca cerinta era ca calculati acea limita si nu sa aratati ca sirul $x_n=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$ e convergent? In orice caz, sunt destul de sigur ca acea demonstratie este la nivel de clasa a XI-a.

EDIT: Daca cititi acolo la inceputul demonstratiei, zice:
„This is by far the most elementary well-known proof; while most proofs use results from advanced mathematics, such as Fourier analysis, complex analysis, and multivariable calculus, the following does not even require single-variable calculus (although a single limit is taken at the end).”

cristinat · Answer 4 · 2016-03-24T16:39:05+02:00

PhantomR wrote: Sunteti sigura ca cerinta era ca calculati acea limita si nu sa aratati ca sirul $x_n=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$ e convergent? In orice caz, sunt destul de sigur ca acea demonstratie este la nivel de clasa a XI-a.

EDIT: Daca cititi acolo la inceputul demonstratiei, zice:
„This is by far the most elementary well-known proof; while most proofs use results from advanced mathematics, such as Fourier analysis, complex analysis, and multivariable calculus, the following does not even require single-variable calculus (although a single limit is taken at the end).”

ok, este de clasa a XI-a dar nu am inteles ce ne impinge spre ideea cu cotangenta? adica ce legatura au 1/2^2, 1/3^2 cu functiile trigonometrice? ce ne face sa ne gandim la asta spre a calcula limita?

PhantomR · Answer 5 · 2016-03-24T16:50:09+02:00

In primul rand, ati vazut ca limita este $\frac{\pi^2}{6}$ , nu 😀?

Probabil ca ne-am putea gandi la serii (a se vedea metoda cu care a derivat Euler limita), insa nu ati studiat despre ele, daca nu ma insel.

Problema nu este una usoara si este, cred eu, un rezultat celebru in matematica.

Va intreb inca o data: sigur nu vi s-a cerut sa probati convergenta? Din cate se poate observa, nu este usor sa gasim valorea limitei, insa convergenta nu este greu e aratat.

cristinat · Answer 6 · 2016-03-24T16:55:44+02:00

PhantomR wrote: In primul rand, ati vazut ca limita este $\frac{\pi^2}{6}$ , nu 😀?

Probabil ca ne-am putea gandi la serii (a se vedea metoda cu care a derivat Euler limita), insa nu ati studiat despre ele, daca nu ma insel.

Problema nu este una usoara si este, cred eu, un rezultat celebru in matematica.

Va intreb inca o data: sigur nu vi s-a cerut sa probati convergenta? Din cate se poate observa, nu este usor sa gasim valorea limitei, insa convergenta nu este greu e aratat.

mi s-a cerut sa calculez limita insa nu am inteles nimic din ce scrie acolo…puteti sa imi explicati putin va roog mult!

PhantomR · Answer 7 · 2016-03-24T17:01:44+02:00

PhantomR expert (VI)

2016-03-24T17:01:44+02:00A raspuns pe 24 martie 2016 la 5:01 PM

Hmm… totusi.. pare ca se folosesc relatiile lui Viete care nu se fac decat in a XII-a (pentru polinoame in general, nu cele pentru polinoame de grad 2). Unde v-ati blocat mai exact?

- 0
Raspunde

cristinat · Answer 8 · 2016-03-24T17:03:10+02:00

PhantomR wrote: Hmm… totusi.. pare ca se folosesc relatiile lui Viete care nu se fac decat in a XII-a (pentru polinoame in general, nu cele pentru polinoame de grad 2). Unde v-ati blocat mai exact?

cand considera n=2m+1. de ce a facut aceasta notatie? si apoi xr = pix supra (2m+1)

PhantomR · Answer 9 · 2016-03-24T17:08:45+02:00

Identitatea obtinuta este valabila pentru orice numar natural $n$ . Se considera mai departe un numar natural $m$ (fixat) si punem $n=2m+1$ . Consieram apoi numerele $x_r= \frac{r\pi}{2m+1},r=\overline{1,m}$ . Un argument pentru alegere e ca atunci $nx_r = (2m+1)x_r = r\pi$ , deci $\sin(nx_r)=0,\forall r$ si atunci membrul stang al identitatii se anuleaza pentru acesti $x_r$ , ceea ce ne permite sa deducem ca numerele $\rm{ctg}x_r$ sunt radacini ale polinomului mentionat acolo. Observand ca numerele $x_r$ sunt distincte si ca polinomul nostru are grad $m$ , inseamna ca polinomul are exact (nu mai sunt altele) aceste radacini si putem aplica relatiile lui Viete.

Mai departe in demonstratie, o sa dati probabil de $\csc$ . Aceasta e $\frac{1}{\sin}$ .

cristinat · Answer 10 · 2016-03-24T17:17:05+02:00

PhantomR wrote: Identitatea obtinuta este valabila pentru orice numar natural $n$ . Se considera mai departe un numar natural $m$ (fixat) si punem $n=2m+1$ . Consieram apoi numerele $x_r= \frac{r\pi}{2m+1},r=\overline{1,m}$ . Un argument pentru alegere e ca atunci $nx_r = (2m+1)x_r = r\pi$ , deci $\sin(nx_r)=0,\forall r$ si atunci membrul stang al identitatii se anuleaza pentru acesti $x_r$ , ceea ce ne permite sa deducem ca numerele $\rm{ctg}x_r$ sunt radacini ale polinomului mentionat acolo. Observand ca numerele $x_r$ sunt distincte si ca polinomul nostru are grad $m$ , inseamna ca polinomul are exact (nu mai sunt altele) aceste radacini si putem aplica relatiile lui Viete.

multumesc mult!!!!!

PhantomR · Answer 11 · 2016-03-24T17:22:59+02:00

PhantomR expert (VI)

2016-03-24T17:22:59+02:00A raspuns pe 24 martie 2016 la 5:22 PM

Cu drag. V-am scris mai sus si despre $\rm{csc}$ .

- 0
Raspunde

cristinat · Answer 12 · 2016-03-24T17:24:42+02:00

cristinat

2016-03-24T17:24:42+02:00A raspuns pe 24 martie 2016 la 5:24 PM

PhantomR wrote: Cu drag. V-am scris mai sus si despre $\rm{csc}$ .

ideea de baza era sa cuprindem suma aia intre doua siruri, nu?

- 0
Raspunde

PhantomR · Answer 13 · 2016-03-24T17:34:48+02:00

PhantomR expert (VI)

2016-03-24T17:34:48+02:00A raspuns pe 24 martie 2016 la 5:34 PM

Da, asa pare 😀. Intre doua siruri cu aceeasi limita pt a putea folosi criteriul clestelui.

- 0
Raspunde

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

limita grea

Similare

13 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul