Home/ Intrebari/Q 90891
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

D3m3nTiaL
Pe: 2016-01-12T14:04:12+02:00 In: In:

Matrice .

Buna ziua , o problema care nu imi da pace suna asa :

Fie o Matrice X patratica de 2 linii si 2 coloane cu proprietatea ca

matricea X^3 are pe prima linie ( 4 3) si pe a 2-a linie (-3 -2) => X = ?

Am reusit sa demonstrez ca daca in matricea X am nota elementele ei cu a,b,c,d , unde a,b sunt pe prima linie si b,c pe linia a 2a .. am demonstrat ca c=-b si ca a-d=2b . Si de aici m-am blocat ..

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    O finalizare posibilă.
    Scoţi b=-c, a=-2c+d şi deduci X=cB+dI_2,\;cu\;B=\left ( \begin{matrix}-2&-1\\1&0 \end{matrix} \right ). Acum
    X^3=A\Leftrightarrow (cB+dI_2)^3=-3B-2I_2\Leftrightarrow \\c^3B^3+3c^2dB^2+3cd^2B+d^3I_2=-3B-2I_2.
    Dar B^2=-2B-I_2\Rightarrow B^3=-2B^2-B=3B+2I_2.
    Cu acestea ecuaţia se scrie
    c^3(3B+2I_2)+3c^2d(-2B-I_2)+3cd^2B+d^3I_2=-3B-2I_2\Leftrightarrow \\(3c^3-6c^2d+3cd^2)B+(2c^3-3c^2d+d^3)=-3B-2I_2.
    Pentru că matricele B şi I_2 sunt liniar independente (adică B\neq \lambda I_2) deducem sistemul:
    \begin{cases}3c^3-6c^2d+3cd^2=-3\\2c^3-3c^2d+d^3=-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c^3-2c^2d+cd^2=-1\\2c^3-3c^2d+d^3=-2\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}c^3-2c^2d+cd^2=-1\\c^2d-2cd^2+d^3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c(c-d)^2=-1\\d(c-d)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c^3=-1\\d=0\end{cases}
    deci d=0, c\in \left \{ -1,\,-\epsilon ,\;-\epsilon ^2 \right \}
    X\in \left \{ -B,\,-\epsilon B,\;-\epsilon ^2 B\right \}.

Raspunde

Raspunde