Home/ Intrebari/Q 89984
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_bulaichi
Pe: 2015-07-09T13:57:59+03:00 In: In:

Elemente simetrizabile

Fie\ multimea\ G=\left \{ (a,b)\ \epsilon\ \mathbb{Z} X\mathbb{Z},a\ prim\ cu\ 5 \right \}\ dotata\ cu\ legea\ de\ compozitie\\ (a,b)*(c,d)=(ac,bc+ad),pentru\ orice (a,b),(c,d)\ \epsilon\ G .\\ Sa\ se \ determine\ elementele\ simetrizabile\ fata\ de \ legea \ * \ din \ multimea\ G.

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Sa observam ca legea e comutativa. Determinam elementul neutru e=(c,d) din relatia (a,b)\ast (c,d) = (a,b) \Leftrightarrow \begin{cases} ac=a \\ bc+ad=b \end{cases}. Cum (a,5) =1 \Rightarrow a\neq 0, deci din prima relatie obtinem c=1, iar din a doua, apoi, ad=0 \Leftrightarrow d=0. Deci elementul neutru este e=(1,0).

    Daca (a,b) e un element inversabil din G in raport cu legea data, atunci exista un element (a',b')\in G astfel incat (a,b)\ast (a^\prime,b^\prime )=e=(1,0), echivalent cu sistemul \begin{cases} aa'=1 \\ ab'+ba'=0 \end{cases}. Cum a,a'\in\mathbb{Z}, rezulta a|1, deci a\in \{-1,1\} (Sa observam ca ambele valori verifica cerinta (a,5)=1). Daca a=1 \Rightarrow a'=-1 (care verifica (a',5)=1), iar a doua relatie din sistem devine b+b'=0 \Leftrightarrow b'=-b, adica toate elementele de forma (1,b),b\in\mathbb{Z} sunt inversabile, iar (1,b)^{-1}=(1,-b). Daca a=-1, avem a'=-1 (care verifica (a',5)=1), iar din a doua relatie deducem b'=-b, adica toate elementele (-1,b),b\in\mathbb{Z} sunt inversabile si (-1,b)^{-1}=(-1,-b).

    In concluzie, elementele inversabile din (G,\ast) sunt cele de forma (\pm 1 , b),b\in\mathbb{Z}.

    NOTA: Din (a,5)=1, \ (b,5)=1 rezulta ca si (ab,5)=1, deci legea e corect definita.

    NOTA: Daca schimbam conditia (a,5)=1 din definitia grupului cu a\neq 0, obtinem aceleasi elemente inversabile.

  2. andrei_bulaichi

    Multumesc ! 🙂

Raspunde

Raspunde