Home/ Intrebari/Q 89847
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

RevnicRobert
Pe: 2015-06-12T15:02:07+03:00 In: In:

Polinom-radacini pozitive

\[Fie\,polinomul\,P\left( x \right) = {x^{17}} + 3{x^3} + 2{x^2} - 1.Numarul\,de\,radacini\,pozitive\,ale\,ecuatiei\,{x^{17}} + 3{x^3} + 2{x^2} - 1 = 0\,este] 8)

Sursa:Culegerea de politehnică,editura U.T.PRESS 8)

Similare

3 raspunsuri

  1. nica10

    o radacina ,intre 0 si 1

  2. A_Cristian
    expert (VI)

    Functia este crescatoare pe (0,inf).
    Pentru rezultat final, mai folosesti si postul lui nica10, eventual.

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Derivata polinomului va fi f^\prime(x)=x(17x^{15}+9x+4). Sa notam cu g(x) functia din paranteza. Datorita faptului ca limitele acestei functii la minus si plus infinit sunt, respectiv, minus infinit si plus infinit si a faptului ca functia e continua, rezulta ca ea are cel putin o radacina reala. Deoarece g^\prime(x)=17\cdot 15 x^{14}+9>0,\forall x\in\mathbb{R}, rezulta ca functia e strict crescatoare, deci injectiva. In concluzie, g are o singura radacina reala. Ne intereseaza pozitia acesteia fata de zero. Avem g(0)=4>0, deci radacina e in (-\infty,0). Atunci singura radacina pozitiva a lui f^\prime este x=0. Cum f(0)=-1, iar cum limita polinomului la plus infinit este infinit, din sirul lui Rolle, ecuatia din enunt are o singura radacina pozitiva.

    EDIT: Frumoasa ideea domnului A_Cristian 🙂.. intr-adevar, pe [0,\infty) functia este suma de functii strict crescatoare (si o functie constanta), deci strict crescatoare. Urmeaza ca e injectiva, deci are cel mult o radacina. Pentru demonstratia ca exista o radacina, putem considera si f(0)=-1 si limita la plus infinit sau, alternativa pentru limita, dupa cum e sugerat si de posturile domnilor A_Cristian si nica10, se poate lua f(1)=5>0.

Raspunde

Raspunde