Home/ Intrebari/Q 89832
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Raduess05
Pe: 2015-06-09T22:28:52+03:00 In: In:

Sistem de 3 ecuatii cu 3 necunoscute

2x = y + 2/y
2y = z + 2/z
2z = x + 2/x

Similare

6 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Sa observam ca x,y,z\neq 0 (conditiile de existenta ale fractiilor). Mai departe, daca unul dintre numere este >0, rezulta ca si celelalte sunt >0 (de exemplu, daca x>0, din ultima egalitate rezulta z>0, iar din a doua obtinem acum y>0). Analog, daca unul din numere este <0, atunci si celelalte sunt <0.

    Folosind inegalitatea mediilor avem: 2x=y+\frac{2}{y}\geq 2\sqrt{y\cdot \frac{2}{y}}=2\sqrt 2\Rightarrow x\geq \sqrt 2. Analog, y,z\geq \sqrt 2. Adunand toate ecuatiile sistemului deducem x+y+z=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right). Dar membrul stang este \geq \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 =3\sqrt 2, cu egalitate pentru x=y=z=\sqrt 2, iar cel drept este \leq 2\left(\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{ \sqrt 2}\right)=2\cdot \frac{3}{\sqrt 2} = 3\sqrt 2, cu aceeasi conditie de egalitate. Egalitatea celor doi membri ne conduce acum la x=y=z=\sqrt 2, care este intr-adevar solutie (prin verificare directa).

    Pentru cazul x,y,z<0, punand x=-x',y=-y',z=-z' avem x',y',z'>0, iar sistemul obtinut in x',y',z' este similar cu cel analizat prima data, deci are solutia unica x'=y'=z'=\sqrt 2, deci pentru cazul x,y,z<0 obtinem solutia unica x=y=z=-\sqrt 2.

    In concluzie, multimea solutiilor sistemului este S=\{(\sqrt 2 , \sqrt 2, \sqrt 2), (-\sqrt 2, - \sqrt 2 , - \sqrt 2)\}.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Domnule PhantomR,am impresia ca ati gresit cand ati adunat ecuatiile… verificati inca o data 😀

  4. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote: In concluzie, multimea solutiilor sistemului este S=\{(\sqrt 2 , \sqrt 2, \sqrt 2), (-\sqrt 2, - \sqrt 2 , - \sqrt 2)\}.


    Soluţii complexe nu există?

  5. PhantomR
    expert (VI)

    grapefruit wrote: Domnule PhantomR,am impresia ca ati gresit cand ati adunat ecuatiile… verificati inca o data 😀

    Va multumesc pentru observatie. Era o greseala doar de scriere cred.. trebuia ca 2 sa apara ori ca factor comun, ori la fiecare dintre numaratori. Eu nu am continuat bazandu-ma pe relatia gresit scrisa anterior din cate am vazut 🙂. In orice caz, am editat si sper sa fie bine acum.

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Integrator wrote:

    Habar nu am 😀, dar as presupune ca exercitiul se cere a fi rezolvat in numere reale.

  8. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote: [quote=Integrator]
    Soluţii complexe nu există?

    Habar nu am 😀, dar as presupune ca exercitiul se cere a fi rezolvat in numere reale.
    Deoarece enunţul nu specifică mulţimea în care se vrea rezolvarea atunci ar trebui ca să găsim şi soluţiile complexe cu partea imaginară diferită de zero. 🙄

Raspunde

Raspunde