Home/ Intrebari/Q 89596
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grigore.sara
Pe: 2015-05-01T13:42:11+03:00 In: In:

chestionar online politehnica

Să se determine m real dacă există o singură pereche (x,y) de numere reale
astfel încât: y\geq x^2+m\: ,\: x\geq y^2+m

Attached files

Similare

9 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    grigore.sara wrote: Să se determine m real dacă există o singură pereche (x,y) de numere reale
    astfel încât: y^2\geq x+m\: ,\: x^2\geq y+m

    Aţi copiat greşit enunţul din imaginea ataşată.

    Fie (x0,y0) acea pereche (unică) care verifică ambele inecuaţii. Dar atunci şi (y0,x0) verifică inecuaţiile, deci din unicitate, deducem x0=y0.

    Rămâne ca inecuaţia x \ge x^2+m să fie verificată de un singur x real, ceea ce se întâmplă pentru m=1/4, pentru care singurul x este x=1/2.

  2. grigore.sara

    da, scuze. am corectat acum
    multumesc!

  4. grapefruit
    maestru (V)

    „

    Rămâne ca inecuaţia [tex wrote: x \ge x^2+m

    [/tex] să fie verificată de un singur x real, ceea ce se întâmplă pentru m=1/4, pentru care singurul x este x=1/2.

    Ecuatia nu este x^2>=x+m?? ,nu inteleg de unde ati obtinut-o.

  5. grigore.sara

    am gresit eu enuntul. cel din imagine e corect

  6. Integrator
    maestru (V)

    grigore.sara wrote: Să se determine m real dacă există o singură pereche (x,y) de numere reale
    astfel încât: y\geq x^2+m\: ,\: x\geq y^2+m


    Din cele două inecuatii rezultă y=x^2+m+a respectiv x=y^2+m+b unde a,b\in \mathbb R .Din cele două ecuatii rezultă x^2+x-y^2-y+a-b=0 si deci pentru a avea doar o singură valoare pentru x trebuie ca discriminantul \Delta_x=1+4y^2+4y+4b-4a=0 iar din această ultimă ecuatie pentru a avea o singură valoare y trebuie ca \Delta_y=4-16b+16a-4=0 de unde rezultă a=b si deci rezultă că x^2+x-y^2-y=0 de unde obtinem ecuatia (x-y)(x+y+1)=0 si deci există două cazuri de studiat si anume:
    1) x=y .
    2) x=-1-y .
    1) În acest caz rezultă deci y=y^2+m si deci din \Delta=1-4m=0 rezultă m=\frac{1}{4} si x=y=\frac{1}{2} .
    2) În acest caz rezultă deci -1-y=y^2+m si deci din \Delta=-3-4m=0 rezultă m=-\frac{3}{4} si x=y=-\frac{1}{2} .

  8. gigelmarga
    profesor

    Integrator wrote:
    Din cele două inecuatii rezultă y=x^2+m+a respectiv x=y^2+m+b unde a,b\in \mathbb R .Din cele două ecuatii rezultă x^2+x-y^2-y+a-b=0 si deci pentru a avea doar o singură valoare pentru x trebuie ca discriminantul \Delta_x=1+4y^2+4y+4b-4a=0 iar din această ultimă ecuatie pentru a avea o singură valoare y trebuie ca \Delta_y=4-16b+16a-4=0 de unde rezultă a=b si deci rezultă că x^2+x-y^2-y=0 de unde obtinem ecuatia (x-y)(x+y+1)=0 si deci există două cazuri de studiat si anume:
    1) x=y .
    2) x=-1-y .
    1) În acest caz rezultă deci y=y^2+m si deci din \Delta=1-4m=0 rezultă m=\frac{1}{4} si x=y=\frac{1}{2} .
    2) În acest caz rezultă deci -1-y=y^2+m si deci din \Delta=-3-4m=0 rezultă m=-\frac{3}{4} si x=y=-\frac{1}{2} .

    Soluţia este greşită. Un sistem de ecuaţii nu este echivalent cu ecuaţia obţinută prin scăderea (sau adunarea) lor. De altfel, se vede uşor că pentru m=-3/4 există mai multe soluţii, una care sare în ochi fiind (x,y)=(0,0).

    A se vedea interpretarea geometrică de aici: http://tube.geogebra.org/student/m1120843.
    Zona violet reprezintă punctele ale căror coordonate sunt soluţii ale sistemului.
    Modificaţi cu mouse-ul valoarea lui m pentru a vedea când zona respectivă se reduce la un punct.

  9. Integrator
    maestru (V)

    gigelmarga wrote: [quote=Integrator]
    Din cele două inecuatii rezultă y=x^2+m+a respectiv x=y^2+m+b unde a,b\in \mathbb R .Din cele două ecuatii rezultă x^2+x-y^2-y+a-b=0 si deci pentru a avea doar o singură valoare pentru x trebuie ca discriminantul \Delta_x=1+4y^2+4y+4b-4a=0 iar din această ultimă ecuatie pentru a avea o singură valoare y trebuie ca \Delta_y=4-16b+16a-4=0 de unde rezultă a=b si deci rezultă că x^2+x-y^2-y=0 de unde obtinem ecuatia (x-y)(x+y+1)=0 si deci există două cazuri de studiat si anume:
    1) x=y .
    2) x=-1-y .
    1) În acest caz rezultă deci y=y^2+m si deci din \Delta=1-4m=0 rezultă m=\frac{1}{4} si x=y=\frac{1}{2} .
    2) În acest caz rezultă deci -1-y=y^2+m si deci din \Delta=-3-4m=0 rezultă m=-\frac{3}{4} si x=y=-\frac{1}{2} .

    Soluţia este greşită. Un sistem de ecuaţii nu este echivalent cu ecuaţia obţinută prin scăderea (sau adunarea) lor. De altfel, se vede uşor că pentru m=-3/4 există mai multe soluţii, una care sare în ochi fiind (x,y)=(0,0).

    A se vedea interpretarea geometrică de aici: http://tube.geogebra.org/student/m1120843.
    Zona violet reprezintă punctele ale căror coordonate sunt soluţii ale sistemului.
    Modificaţi cu mouse-ul valoarea lui m pentru a vedea când zona respectivă se reduce la un punct.
    Eu am spus că sunt două cazuri de studiat si greseala mea a fost că nu este permis să studiez separat cazurile de inegalităti stricte si de egalităti….
    Frumoasă realizare cu programul GeoGebra pe care eu încerc de putin timp să-l învăt al utiliza…
    Aveti dreptate!Cazul 2) gândit de mine nu verifică cerintele din problemă privind unicitatea solutiei.
    ––––––––––––––––
    Dacă ar fi fost vorba în problemă doar de egalităti si anume de egalitătile y=x^2+m si respectiv x=y^2+m atunci cazurile 1) si 2) date de mine sunt solutii unice pentru fiecare dintre cele două valori ale lui m .Vă multumesc foarte mult pentru corectia făcută.

  10. gigelmarga
    profesor

    Integrator wrote:
    Dacă ar fi fost vorba în problemă doar de egalităti si anume de egalitătile y=x^2+m si respectiv x=y^2+m atunci cazurile 1) si 2) date de mine sunt solutii unice pentru fiecare dintre cele două valori ale lui m .Vă multumesc foarte mult pentru corectia făcută.

    Din păcate, vă înşelaţi din nou. Sigur, dacă m=1/4, avem o unică pereche care satisface sistemul de ecuaţii (la acesta mă refer), aceeaşi ca în cazul sistemului de inecuaţii.

    În schimb, dacă m=-3/4, sistemul de ecuaţii are două soluţii, anume (-1/2,-1/2) şi (3/2,3/2).

  12. Integrator
    maestru (V)

    gigelmarga wrote: [quote=Integrator]
    Dacă ar fi fost vorba în problemă doar de egalităti si anume de egalitătile y=x^2+m si respectiv x=y^2+m atunci cazurile 1) si 2) date de mine sunt solutii unice pentru fiecare dintre cele două valori ale lui m .Vă multumesc foarte mult pentru corectia făcută.

    Din păcate, vă înşelaţi din nou. Sigur, dacă m=1/4, avem o unică pereche care satisface sistemul de ecuaţii (la acesta mă refer), aceeaşi ca în cazul sistemului de inecuaţii.

    În schimb, dacă m=-3/4, sistemul de ecuaţii are două soluţii, anume (-1/2,-1/2) şi (3/2,3/2).
    Aveti dreptate!Multumesc foarte mult si vă cer mii de scuze pentru tot deranjul care vi l-am făcut!Toată stima pentru ajutorul dat pentru mine ca de altfel si pentru toti ceilalti de pe acest forum in domeniul matematicii.

Raspunde

Raspunde