Multumesc mult pentru ajutor!
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
In ultimul post aveti demonstratia!
Multumesc mult pentru ajutor,dar ma scuzati de indrazneala daca pot zice asa dar nu prea am inteles demonstratia… sunt in cls a X-a dar nu mi se pare nimic familiar in acea demonstratie…
Hai sa vad daca ma pot incadra in cunostintele tale …
Sa privim relatia data ca pe o ecuatie de gradul 2 in a, de exemplu: a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)=0.
Stii ca D=(b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)=…=-3(b-c)^2, asa ca a are una dintre expresiile [b+c (+sau-) i(b-c)rad3]/2.
de unde a-c=[(b-c) (+sau-) i(b-c)rad3]/2=(b-c)(1/2 (+sau-)(irad3)/2] si, analog, a-b=(b-c)(-1/2 (+sau-)(irad3)/2).
Dar u=1/2+(irad3)/2 are modulul 1 si acelasi modul il au conjugatul, opusul si opusul conjugatului lui. Tinem cont si de faptul ca
modulul produsului = produsul modulelor si din cele 2 relatii obtinem |a-c|=|b-c|, respectiv, |a-b|=|b-c|, adica cele 3 laturi
ale triunghiului au aceeasi lungime.
M-am incadrat?
Sper sa-mi reprosezi ca m-am grabit si ti-am luat placerea de a o rezolva singura …
Nu, v-aţi grăbit şi aţi demonstrat reciproca…🙂
Sa notam (asta e, nu merge Latex-ul aici) conjugatul numarului z cu c(z).
Avem relatia z*c(z)=|z|^2, pentru orice z complex.
Daca a,b,c sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral, atunci |a-b|=|b-c|=|a-c|. Sa notam cu r
valoarea comuna a celor trei module. Atunci
r^2=|a-c|^2=|a-b+b-c|^2=(a-b+b-c)*(c(a-b)+c(b-c))=
|a-b|^2+|b-c|^2+(b-c)*c(a-b)+(a-b)*c(b-c)=
r^2+r^2+(b-c)*r^2/(a-b)+(a-b)*r^2/(b-c).
Dupa simplificare cu r^2, obtinem
1+(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)=0,
echivalent cu
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.
Multumesc mult!
Multumesc !
Chiar ca m-am grabit si am demonstrat altceva decat problema ta.
Sper sa apreciezi solutia lui gigelmarga, este si corecta si frumoasa, ai ce invata de acolo.
Raman la parerea ca cea mai naturala demonstratie a celor doua propozitii, directa si reciproca, se face cu rotatii, implicit,
cu numere complexe sub forma trigonometrica. Daca o sa fii interesata, o sa-ti arat cum.
Sunt întrutotul de acord.
Domnule Marga,
Mă alături domnului Ghioknt şi vă felicit pentru soluţia foarte ingenioasă. Mă bucur să avem un coleg de forum atât de valoros.
Green eyes.
As fi eu
Mai intai, putina pregatire.
Fie A(a), C(c) 2 puncte cu afixele lor, afixe legate prin relatia a=c(cosu+isinu). Daca c=r(cost+isint) atunci a=r(cos(t+u)+isin(t+u)).
Interpretarea geometrica a rezultatului este urmatoarea: segm. [OA] se obtine prin rotirea segmentului [OC] in jurul lui O
cu unghiul u <=> a=c(cosu+isinu).
Daca vrem sa-l rotim pe C in jurul lui B(b) cu un unghi u, trebuie mai intai sa-l mutam pe O in B, fara sa schimbam directiile axelor.
A, B, C vor avea afixe noi, si anume: a-b, 0, c-b. Daca a-b=(c-b)(cosu+isinu) , inseamna ca [OA] (de fapt [BA]) se obtine prin
rotirea lui [OC] (de fapt BC) cu unghiul u, in jurul lui O, adica B. in concluzie,
[BA] se obtine prin rotirea lui [BC] in jurul lui B cu unghiul u <=> a-b=(c-b)(cosu+isinu).
u poate fi pozitiv sau negativ, exptimat in radiani sau grade, dupa interesul si dispozitia celui care scrie. Acum sa demonstram:
Triunghiul ABC este echilateral <=> a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.
Triunghiul ABC este echilateral <=> [BA] se obtine prin rotirea lui [BC] in jurul lui B cu un unghi de 60 gr. sau de -60 gr. <=>
a-b=(c-b)(cos60+isin60) sau a-b=(c-b)(cos(-60)+isin(-60)) <=>
a primeste una din valorile a_1=b+(c-b)(1/2+i(rad3)/2) sau a_2=b+(c-b)(1/2-i(rad3)/2) <=>
a este a_1=(b+c)/2+i(c-b)(rad3)/2) sau a_2=(b+c)/2-i(c-b)(rad3)/2) <=>
(via relatiile lui Viete) <=> a verifica ecuatia a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)=0
(caci a_1+a_2=b+c si a_1a_2=b^2+c^2-bc).
De ce punctul A va avea afixul a-b? Daca mutam centrul sistemului in punctul B,atunci noul punct A nu va avea coordonate mai mari daca B are coodonate pozitive si coordonate mai mici daca B are coordonate negative? Sau am inteles eu gresit ce mi-ati explicat dvs
Fa un desen pe hartie cu patratele. Ia niste puncte, de ex. A de afix a=5+6i sau de coordonate (5;6) si B de afix b=3+2i, adica
de coordonate (3;2). Acum ia un nou reper (sistem de axe) cu originea in B si cu axele paralele si de acelasi sens cu cele vechi.
Fata de acest reper fiecare punct va avea un nou afix, sau o noua pereche de coordonate. Esti de acord ca B va avea acum
coordonatele (0;0), adica afixul b’=0=b-b?
Numara, cu ajutorul patratelelor, coordonatele lui A fata de noul reper si vezi daca e adevarat ca a’=a-b=(5+6i)-(3+2i)=2+4i.
Aveti dreptate ca intotdeauna,va apreciez foarte mult!