Home/ Intrebari/Q 87894
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bura_Marius
Pe: 2014-10-04T20:43:19+03:00 In: In:

primitiva

Am derivat F si am reusit sa arat ca este o primitiva a lui f dar nu stiu cum as putea sa continui si de aceea solicit ajutor.Multumesc

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Se cere sa construim o primitiva a functiei f(x)=\frac{1}{2+\cos x} pe intervalul [0;\,2\pi] pe care f este, evident, continua,
    plecand de la faptul ca F(x)=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} tg\frac{x}{2}\right ) este o primitiva pe intervalele [0;\,\pi)\;si\;(\pi;\,2\pi].
    O primitiva care sa ia valoarea 0 in pi poate sa arate astfel:
    F_1(x)=\begin{cases}F(x)+c_1\;\;pt.\;x\in [0;\,\pi)\\0\;\;\;pt.\;x=\pi\\F(x)+c_2\;pt.\;x\in (\pi;\,2\pi]\end{cases}.
    Sa determinam constantele a. i. functia propusa sa fie continua in pi, adica limitele laterale sa fie ambele 0.
    La stanga, \lim_{x\to \pi}tg\frac{x}{2}=+\infty\Rightarrow \lim_{x\to \pi}F_1(x)=c_1+\lim_{y\to \infty}\frac{2}{\sqrt{3}}arctgy=c_1+\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi}{2}=c_1+\frac{\pi}{\sqrt{3}}.
    La dreapta, \lim_{x\to \pi}tg\frac{x}{2}=-\infty\Rightarrow \lim_{x\to \pi}F_1(x)=c_2+\lim_{y\to- \infty}\frac{2}{\sqrt{3}}arctgy=c_2-\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi}{2}=c_2-\frac{\pi}{\sqrt{3}}.
    Deci luand c_1=-\frac{\pi}{\sqrt{3}},\;c_2=\frac{\pi}{\sqrt{3}} ne asiguram ca F_1 este continua in pi.
    Dar ce ne asigura ca ea este derivabila in pi si, mai mult, ca F'_1(\pi)=f(\pi)?
    a)F'_1(x)=f(x)\;\forall x\in [0;\,\pi)\cup (\pi;\,2\pi];
    b) F_1\; este\;continua\;in\;\pi;
    c) \lim_{x\to \pi}F'_1(x)=\lim_{x\to \pi}f(x)=f(\pi) (pentru ca f este continua in pi)
    sunt cele trei premise din Corolarul teoremei lui Lagrange, care, odata indeplinite, asigura ca F'_1(\pi)=f(\pi).

  2. grapefruit
    maestru (V)

    @ghioknt,la continuitate presupun ca ati schimbat variabila y=tg x/2,in fata lui tg x/2 mai era un radical nu l-ati „mancat” sau ati facut altceva cu el si nu observ eu?

    Cat despre propozitia ” O primitiva care sa ia valoarea 0 in pi poate sa arate astfel” 0-ul a fost ales de dumneavostra cu un scop sau puteam alege orice alta constanta in pi si determinam c_1 si c_2 in functie de ce alegeam?

    Rog sa fiti ingaduitor cu mine daca intrebarile sunt „banale” sau „non-sens” .sunt la inceput si vreau sa le „inteleg”

  4. ghioknt
    profesor

    @ grapefruit
    Noua variabila y include si factorul constant din fata lui tg(x/2).

    Daca o functie admite o primitiva si aceasta se poate afla, atunci ea se afla abstractie facand de un termen contant (acel +C cu
    care se incheie orice ..formula”). Asa ca exista o alegere a lui C astfel incat intr-un punct oarecare din I primitiva sa ia o anumita
    valoare, nu neaparat 0. Aleg 0 din comoditate; daca as fi ales 2, ar fi trebuit sa scriu +2 de mai multe ori pe parcursul rezolvarii.

Raspunde

Raspunde