Home/ Intrebari/Q 87820
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

eddie17
Pe: 2014-09-29T16:20:41+03:00 In: In:

Analiza matematica

1.Fie mЄN*.Aratati ca pentru orice xЄR,exista un unic nЄZ astfel incat n/m<=x<(n+1)/m.Ce se intampla pentru m=1?
2.Fie a,b numere reale cu a<b.Aratati ca intre a si b exista cel putin un numar rational si cel putin un numar irational.

Multumesc anticipat!

Similare

2 raspunsuri

  1. gefest

    O parte din exercitiul 2 este rezolvat in cartea lui Daniel Velleman „How to prove it” pg. 325, lema 7.3.4. http://turbobit.net/rgips8ask59c.html in format djvu. Vazusem si pdf cindva. Inca o carte buna este Randall Maddox „Transition to abstract mathematics” cu capitole introductive de analiza si algebra.

  2. richfeynman

    Pentru 1, consideram urmatoarele :

        \[ \begin{array}{l} \frac{n}{m} \le x < \frac{{n + 1}}{m} = > n \le mx < n + 1 = > \\ [mx] = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {[x + \frac{k}{m}]} = n\,(Identitatea\,lui\,Hermite\,pentru\,\,m \in Z^ + ) \\ \end{array} \]

    Observam ca variabila intreaga n reda partea intreaga a variabilei reale mx, de unde deducem ca poate exista un singur astfel de n corespunzator lui mx . Pentru m=1
    avem, evident [x]=n.

    Pentru 2, despre rationalitate :

        \[ Fie\,\,t,\,k\,\,\,unde\,t,k \in \Re \,;\,\,\,t > k = > t - k > 0 \]

    Proprietatea(axioma) lui Arhimede atesta urmatorul adevar matematic :

        \[ Pentru\,orice\,numar\,real\,\,\varepsilon > 0\,\,exista\,un\,numar\,natural\,n\,astfel\,incat\,n\varepsilon > 1. \]

    .
    In continuare :

        \[ \begin{array}{l} t - k = \varepsilon = > nt - nk > 1 \\ Fie\,b = nt,\,a = nk = > b - a > 1.\, \\ \end{array} \]

    Ori noi stim ca daca diferenta a doua numere reale este mai mare de 1, intre cele 2 exista cel putin un numar intreg.

    Pentru ca e destul de tarziu, n-o sa pot fi prea detaliat si o sa trisez putin folosindu-ma de irationalitatea numarului

        \[ \pi \]

    .
    In concluzie :

        \[ Fie\,a,b \in \Re \,(x \in \Re *),\,\,unde\,\frac{a}{\pi } < x < \frac{b}{\pi } = > a < \pi x < b. \]

    .
    Din moment ce

        \[ \pi x \]

    este irational, deducem rezultatul final.

Raspunde

Raspunde