Home/ Intrebari/Q 87811
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Pollux
Pe: 2014-09-28T18:20:31+03:00 In: In:

Primitiva

Pentru fiecare n \in N* consideram functia f_n :R -> R , f_n(x)=\left\{\sin^n(\frac{1}{x}),x\neq 0 \\ \lambda _n, x=0 \right ,unde \lambda _n \in R.

Aratati ca pentru n impar, functia f_n are primitive daca si numai daca \lambda _n =0

Va multumesc !

Similare

5 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Se vede ca lim(n->infinit)(sin1/x)^n->0 si fn(x) este continua daca (lamda)n=0 si fn(x) are primitiva
    (Motivarea primei afirmatii. Fie g(x)=x^2.cos(1/x). Avem g(x)continua in
    x->0.Aplicand Lagange pe intervalul (0,x)avem;E= (g(x)-g(0))/x=2c.cos(1/c)+
    sin(1/c), unde c apartine (0 , x) Pentru x->0 si c->0si exprsia E va fi E=0=0+sin(1/c) ,c->0. Deci lim(x->0)sin(1/x)->0)

  2. sandy_sc
    maestru (V)

    Pai Lagrange se aplica pe un interval [a,b] cu a si b fixe , dar la toine [0, x) este variabil
    Ignori informatia ca n = nr impar

  4. ghioknt
    profesor

    1) Functia polinomiala p_n(t)=(1-t^2)^{\frac{n-1}{2}} are o primitiva pe R, tot o functie polinomiala, P_n(t) (de grad n+1).
    2) Pt.\;x\neq 0:\;\left [ P_n(\cos \frac{1}{x}) \right ]'=p_n(\cos \frac{1}{x})\cdot \sin \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2}=\left [ 1-\cos^2 \frac{1}{x} \right ]^{\frac{n-1}{2}}\cdot \sin \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2}=f_n(x)\cdot \frac{1}{x^2}.
    3) Consider functia A_n(x)=\begin{cases}x^2P_n(\cos \frac{1}{x})\;pt.\;x\neq 0\\0\;\;\;pt.x=0\end{cases}.
    Pt. x\neq 0:\;A'_n(x)=2xP_n(\cos \frac{1}{x})+x^2\cdot f_n(x)\cdot \frac{1}{x^2}=2xP_n(\cos \frac{1}{x})+f_n(x), cf. obs. 2).
    Pt. x=0: A'_n(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2P_n(\cos \frac{1}{x})}{x}=0, din motive lesne de inteles.
    4) Consider functia b_n(x)=\begin{cases}2xP_n(\cos \frac{1}{x})\;pt.\;x\neq 0\\0\;\;\;pt.x=0\end{cases}.
    Pentru ca \lim_{x\to 0}2xP_n(\cos \frac{1}{x})=0 inseamna ca aceasta functie este continua pe R, inclusiv in 0,
    deci admite o primitiva pe R B_n(x)\;a.i.\;B'_n(x)=b_n(x)\;\forall x\in\mathbb{R}.
    5)Fie F_n(x)=A_n(x)-B_n(x).\;Pt.\;x\neq 0:\;F'_n(x)=A'_n(x)-B'_n(x) =2xP_n(\cos \frac{1}{x})+f_n(x)-2xP_n(\cos \frac{1}{x})=f_n(x),\; iar\;F'_n(0)=A'_n(0)-B'_n(0)=0, adica functia f_n\;cu\;\lambda _n=0 admite primitive.
    6) Fie o functie \overline{f}_n\; cu\;\lambda_n\neq 0\;si\;G_n o primitiva a sa pe R.
    Pentru ca \overline{f}_n(x)=f_n(x)\; pe\;(0;\,\infty) deducem ca, pe acest interval, G_n\;si\;F_n difera printru constanta, c.
    Ar trebui sa avem G'_n(0)=\lambda_n. (*)
    Dar \lim{x\to 0 \\x>0}\frac{G_n(x)-G_n(0)}{x}=\lim{x\to 0\\x>0}\frac{F_n(x)+c-G_n(0)}{x}=\lim{x\to 0\\x>0}\frac{F_n(x)-F_n(0)}{x}+\lim{x\to 0\\x>0}\frac{F_n(0)+c-G_n(0)}{x}=
    =F'_n(0)+\lim{x\to 0\\x>0}\frac{F_n(0)+c-G_n(0)}{x}=\lim{x\to 0\\x>0}\frac{F_n(0)+c-G_n(0)}{x}.
    Ori, din doua una: ori numaratorul este 0 si atunci limita este 0, ori nu este 0 si atunci limita este infinita.
    Deci relatia (*) nu poate avea loc decat pentru \lambda_n=0.

  5. grapefruit
    maestru (V)

    @ghioknt,dar nu v-ati folosit ca n este impar,sigur autorul nu se gandea la o rezolvare asa grea si cu o imaginatie asa bogata(parerea mea).

  6. ghioknt
    profesor

    Am folosit ca n este impar inca din prima propozitie cand am scris ca p_n(t)=(1-t^2)^{\frac{n-1}{2}} este o functie polinomiala.
    Pt. n par, exponentul nu ar fi natural, functia nu ar fi polinomiala, ci o functie putere (sau radical, cum doresti) si, mai grav pentru
    mersul demonstratiei, nu ar avea primitive pe R, ci doar pe intervalul [-1; 1].
    In primul rand problema este grea. Cat despre solutie, ea este destul de clasica, eu nu am facut decat sa numerotez
    ideile principale, pentru ca cei ”pedepsiti” sa citeasca aceasta demonstratie sa poata reconstitui mai usor intregul din aceste
    ”prefabricate”. Cine gaseste undeva o solutie mai simpla este rugat sa o aduca la cunostinta, presupun ca nu numai eu, ci
    si altii am fi interesati de asa ceva.

Raspunde

Raspunde