Home/ Intrebari/Q 87807
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

sergiuuh
Pe: 2014-09-28T16:19:47+03:00 In: In:

Inegalitate

2(a^3+b^3+c^3) _> (a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac .Toata ziua am incercat sa o rezolv

Similare

2 raspunsuri

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Numerele a, b și c sunt pozitive, este important de precizat.

    Pornim de la inegalitatea evidentă, pentru numerele a și b:

    \bl (a+b)\cdot(a-b)^{\small 2}\geq 0,\;sau\;(a+b)\cdot(a^{\small 2}-2ab+b^{\small 2})\geq 0,\;sau\;(a+b)\cdot(a^{\small 2}-ab+b^{\small 2}-ab)\geq 0,\;sau\;(a+b)\cdot(a^{\small 2}-ab+b^{\small 2})-(a+b)ab\geq 0,\;sau\;a^{\small 3}+b^{\small 3}\geq (a+b)ab.

    Apoi scrii celelalte 2 relații similare pentru b, c, și respectiv pentru c și a, aduni cele 3 inegalități obținute și ajungi la relația din enunț.

    Ai înțeles ?

    Green eyes.

  2. herosz

    o alta metoda ar fi ca pt.

        \[a \le b \le c\;si\;{a^2} \le {b^2} \le {c^2}\]

    sa scriem inecuatia Cebasev pt

        \[\begin{array}{l} \quad \quad \quad \quad \;\;\left( {{a^2},{b^2}} \right)\;si\;\left( {a,b} \right)\\ respectiv\quad \left( {{b^2},{c^2}} \right)\;si\;\left( {b,c} \right)\\ respectiv\quad \left( {{c^2},{a^2}} \right)\;si\;\left( {c,a} \right) \end{array}\]

    obtinem:

        \[\begin{array}{l} {a^3} + {b^3} \ge {a^2}b + {b^2}a = ab(a + b)\\ {b^3} + {c^3} \ge {b^2}c + {c^2}b = bc(b + c)\\ {c^3} + {a^3} \ge {c^2}a + {a^2}c = ca(c + a) \end{array}\]

    adunand obtinem inegalitatea cautata.

Raspunde

Raspunde