Home/ Intrebari/Q 87329
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

eddie17
Pe: 2014-08-19T13:41:13+03:00 In: In:

Matrice

1.Fie AЄMn (C). Sa se arate ca daca AB=BA, pentru oricare matrice BЄMn(C), atunci exista xЄ C, astfel incat A=xIn.
2.Fie AЄMn (C), astfel incat A^3=On. Sa se arate ca, pentru oricare pЄN*, ecuatiile urmatoare au solutii :
a) X^p=In+A+A^2
b) X^p=In+A^2.

Multumesc anticipat!

Similare

4 raspunsuri

  1. grapefruit
    maestru (V)

    L-a primul ex.aS intraznii urmatoarea rez:-SINGURA MATRICE CARE COMUTA CU TOATE MATRICILE ESTE I_N CEEA CE INSEAMNA CA A ESTE I_N DECI x=1.

  2. eddie17

    Vreo sugestie si pentru 2?

  4. red12dog34
    veteran (III)

    eddie17 wrote: 1.Fie AЄMn (C). Sa se arate ca daca AB=BA, pentru oricare matrice BЄMn(C), atunci exista xЄ C, astfel incat A=xIn.

    Luăm B să fie mtricea E_{ii} care are pe poziția (i,i) 1 și în rest 0.
    Din A\cdot E_{ii}=E_{ii}\cdot A, \forall i=\overline{1,n} se obține că a_{ij}=0, \ i\ne j
    Deci A este de forma
    \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \ldots & 0\\0 & a_{22} & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}

    Luăm acum B=E_{ij}, \ i\ne j și din comutativitatea cu A se obține a_{ii}=a_{jj}, deci elementele de pe diagonala lui A sunt egale. Deci A=a\cdot I_n

  5. PhantomR
    expert (VI)

    grapefruit wrote: L-a primul ex.aS intraznii urmatoarea rez:-SINGURA MATRICE CARE COMUTA CU TOATE MATRICILE ESTE I_N CEEA CE INSEAMNA CA A ESTE I_N DECI x=1.

    Toate matricele aI_n,a\in \mathbb{C} si doar acestea (demonstratie frumoasa data de red_dog mai sus) au aceeasi proprietate 🙂.

Raspunde

Raspunde