Ce sunt valorile proprii ale unei matrici,am vazut ca ,cad destul de des pe la concursuri desi la clasa nu se fac!
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Ce sunt valorile proprii ale unei matrici,am vazut ca ,cad destul de des pe la concursuri desi la clasa nu se fac!
Luam o matrice A din Mn(C).
Atunci P(x)=det(A-xIn) se numeste polinomul caracteristic al matricei A. Acesta este un polinom de grad cel mult n, cu termenul liber detA si coeficientul lui x^n egal cu (-1)^n.
Valorile x1, x2,…, xn din C care sunt radacinile ecuatiei P(x)=0 se numesc valorile proprii ale lui A. Se noteaza de obicei cu lamda. Multimea valorilor proprii ale lui A se numeste spectrul matricei A si se noteaza Spec(A).
Suma tuturor valorilor proprii este egala cu tr(A), iar produsul lor este egal cu det(A).
Valorile proprii ale lui A^p sunt (x1)^p, (x2)^p…,(xn)^p, oricare p din N*. Se verifica si pentru p=-1, deci matricea inversa a lui A are valorile proprii 1/x1, 1/x2,…,1/xn, in cazul in care 0 nu este valoare proprie (daca 0 este valoare proprie, detA=0 si A nu are inversa).
Dacă Q(X) este un polinom, atunci matricea Q(A) are valorile proprii Q(x1), Q(x2)…Q(xn).
Teorema Cayley-Hamilton afirma ca orice matrice isi anuleaza polinomul caracteristic, adica P(A)=0. In mod cert P(A)=det(A-A*In)=det(On)=0.
De aici pentru n=2, avem A^2 – tr(A)*A + det(A)*I2 = O2.
Pentru n=3: A^3 – tr(A)*A^2 + tr(A*)*A – det(A)*I3 = O3, unde A* este matricea adjuncta.
Pentru n=2, exista matricele B si C din M2(C) a.î.
A^n= ((x1)^n)*B + ((x2)^n)*C, oricare n din N*, daca x1 difera de x2 (x1,2 sunt valorile proprii ale lui A).
In cazul in care x1=x2, atunci A^n = (x1^n)(nB+C), oricare n din N*. Este un mod mai usor, uneori, de a determina puterile unei matrice.
Ati zis ca suma tuturor valorilor proprii este tr (A) ,adica urma matricei deci valorile proprii sunt numerele de pe diagonala principala si ati mai afirmat ca produsul lor este det A , adica produsul elementelor de pe diagonala este det A care cel putin dupa mine este fals … ce nu am inteles?
Valorile proprii nu sunt numerele de pe diagonala principala (adica nu in general). Suma lor este egala cu suma elementelor de pe diagonala principala.
Ca sa intelegi mai bine si sa vezi si cum se calculeaza efectiv, iau un exemplu pentru ordin 2.
––– 2….3
Fie A=
………. 1….3
……………………..|2-x….3 |
Atunci det(A-xI2)=|………..| = (2-x)(3-x)-3 = 6 – 5x + x^2 – 3= x^2 – 5x + 3
……………………..| 1….3-x|
Radacinile sunt
si 
.
Deci x1,2 sunt valorile proprii ale lui A.
Avem x1+x2 = 5 = tr(A) si x1*x2 = 3 = detA
Am inteles,multumesc pentru sprijinul acordat !
Daca A apartine Mn(C), atunci A are n valori proprii distincte?
Nu neaparat distincte. Aceste valori proprii sunt radacinile unui polinom.
Spre exemplu, In are unica valoare proprie 1, avand polinomul caracteristic (x-1)^n.