Home/ Intrebari/Q 86006
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

exilon
Pe: 2014-03-23T13:22:35+02:00 In: In:

incepator

(arcsin 2x/1+x2)’ = ? (rezolvarea completa) O zi buna !

Similare

8 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Arcsin[2x/(1+x^2)]=α, de unde sinα=2x/(1+x^2) Sa exprimam pe sinα in finctie de tg(α/2), deci sinα=2tg(α/2)/[1+(tg(α/2))^2]=2x/(1+x^2) de unde ;
    tg(α/2)=x sau α/2=arctgx sau α=arcsin[1x/(1+x^2)]=2.arctgx

  2. DD
    profesor

    urmare

    Scuze doresti derivarea functiei? ABIA AM VAZUT SEMNUL DE ” ‘ „
    Sa notam functia data cu Y, deci y’={1/√(1-[2x/(1+x^2)]^2)}[2(1-x^2)/ (1+x^2)^2={1/√[(1-x^2)/(1+x^2)]^2}.[2(1-x^2)/(1+x^2)^2]=[(1+x^2)/(1-x^2)].[2(1-x^2)/(1+x^2)^2]=2/(1+x^2) .
    Si ca tot am facut relatia de mai sus se vede ca y=2arctgx si y’=2/(1+x^2) ceea ce am gasit si mai sus

  4. PhantomR
    expert (VI)

    DD wrote: Arcsin[2x/(1+x^2)]=α, de unde sinα=2x/(1+x^2) Sa exprimam pe sinα in finctie de tg(α/2), deci sinα=2tg(α/2)/[1+(tg(α/2))^2]=2x/(1+x^2) de unde ;
    tg(α/2)=x sau α/2=arctgx sau α=arcsin[1x/(1+x^2)]=2.arctgx

    Foarte frumoasa relatie!:D Va multumesc!

  5. ghioknt
    profesor

    Fie\;f,\,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=arcsin \frac{2x}{1+x^2},\;g(x)=2arctg x.
    f(\sqrt{3})=arcsin \frac{2\sqrt{3}}{1+3}=arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}.
    g(\sqrt{3})=2arctg \sqrt{3}=2\frac{\pi}{3}.
    Deci cele 2 funcţii nu sunt tocmai egale.
    Cu stimă,
    ghioknt

  6. DD
    profesor

    Dragul meu coleg ”ghioknt”, in privinta problemei de mai sus, fie x=1/√3 In acest caz arcsin[2x/(1+x^2)]=arcsin[(2/√3)/(1+(1/√3)^2)=
    arcsin[2/√3)/(4/3)]=arcsin[6/(4.√3)]=arcsin[√3/2]=(pi)/3 In acelasi timp
    2arctgx=2arctg[1/√3]=2.(pi)/6=(pi)/3
    Eu ,cum spusei, sunt preocupat de problemele de fizica asa ca te las pe mata sa lamuriti ”misterul” nepotrivirii dintre cea ce spusei eu si cea ce spusesi mata si sunt convins ca-l vei deslega.Cu respect DD

  8. ghioknt
    profesor

    Toate funcţiile elementare (includ aici şi funcţia modul) sunt continue pe domeniul lor maxim de definiţie, fiind foarte o.k.
    în aolicaţii, din acest punct de vedere.
    În privinţa derivabilităţii, există câteva funcţii elementare care provoacă unele necazuri pentru că au câte un punct sau
    două în care nu sunt derivabile. Cel mai neplăcut este faptul că atunci când în operaţii – algebrice sau de compunere – participă
    şi funcţii nederivabile în câte vreun punct, despre rezultat nu putem spune nimic apriori relativ la derivabilitatea lui în punctul
    cu pricina, trebuind să cercetam existenţa derivatelor (laterale) în acel punct. Vestea bună este că pentru aceasta dispunem,
    nu doar de definiţia derivatei într-un punct, ci şi de puternicul instrument care este Corolarul Teoremei lui Lagrange (CTL).
    O să mai ”divulg” odată care sunt ”oile negre” ale funcţiilor elementare:
    funcţiile radical şi funcţia modul nu sunt derivabile în 0;
    funcţiile arcsin şi arccos nu sunt derivabile în -1 şi 1.
    Pentru o funcţie ca f(x)=arcsin \frac{2x}{1+x^2} domeniul maxim de definiţie este dat de sistemul de inecuaţii
    -1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq 1, iar eventualele puncte de nederivabilitate vor fi punctele în care au loc cele 2 egalităţi.
    -1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq 1\Leftrightarrow -1-x^2\leq 2x\leq 1+x^2\Leftrightarrow (1+x)^2\geq 0\;&;(1-x)^2\geq 0, ceeace arată că
    domeniul maxim de definiţie este R şi că cele doua egalităţi ale fracţiei cu -1 sau cu 1 au loc pentru x=-1, x=1.
    Concluzia corectă nu este că f nu e derivabilă în -1 şi +1, ci că f este cu siguranţă derivabilă pe (-\infty ;\,-1)\cup (-1;\,1)\cup (1;\,\infty ),
    iar în -1 sau 1, mai vedem.
    Pe cele trei intervale aplicăm regulile de derivare:
    f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )^2}}\cdot \left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )'=\frac{1+x^2}{\sqrt{(1+x^2)^2-4x^2}}\cdot \frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2}}\cdot \frac{2(1-x^2)}{1+x^2}=\frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}.
    f'(x)=\begin{cases}\frac{-2}{1+x^2}\;pt.\;x\in (-\infty;\,-1)\cup (1;\,\infty)\\\frac{2}{1+x^2}\;\;pt\;\;x\in(-1;\,1)\end{cases}\;\;caci\;|1-x^2|=1-x^2\;doar\;pt\;x\in(-1;\,1).
    Studiem existenţa derivatelor laterale în -1 şi 1 cu ajutorul CTL.
    a) f este continuă în -1;
    b) f este derivabilă pe (-\infty ;\,-1)\cup (-1;\,1);
    c) \lim_{x\to -1\\x<-1}f'(x)=-1\Rightarrow f'_s(-1)=-1;\;\;\lim_{x\to -1\\x>-1}f'(x)=1\Rightarrow f'_d(-1)=1.
    Analog în x=1. Deci f nu este derivabilă în -1 sau în 1, acestea fiind puncte unghiulare ale graficului lui f.
    Aici se termină rezolvarea problemei propuse.
    În plus să observăm că pentru xE(-1; 1) f'(x)=(2arctgx)’; deducem că cele două funcţii diferă printr-o constantă
    pe acest interval: f(x)=2arctgx+c; f(0)=2arctg0+c sau 0=0+c, deci c=0.
    Pt xE(-oo; -1) f'(x)=(-2arctgx)’, deci pe acest interval f(x)=-2arctgx+a; f(-\sqrt{3})=-2arctg(-\sqrt{3})+a;\;\frac{-\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+a;\;a=-\pi.
    Pt xE(1; oo) f'(x)=(-2arctgx)’, deci pe acest interval f(x)=-2arctgx+b; f(\sqrt{3})=-2arctg(\sqrt{3})+b;\;\frac{\pi}{3}=\frac{-2\pi}{3}+b;\;b=\pi.
    f(x)=\begin{cases}-\pi-2arctgx\;pt\;x\in(-\infty;\,-1)\\2arctgx\;\;pt\;\;x\in[-1;\,1]\\\pi-2arctgx\;pt\;x\in(1;\,\infty)\end{cases}.
    Cu bine,
    ghioknt.

  9. DD
    profesor

    Draga colega ”Ghioknt”Eu am foarte putini prieteni,dar unul dintre acestia este specialist in matematica ( profesor universitar, fost sef de catedra la fac . de matematica -U.T.Brasov) Astazi am discutat despre problemaele ; lim(x->0)sin(1/x) si despre egalitatea ‘arc sin(2x/(1+x^2)=2arctgx’ La prima problema , prietenul meu a gandit exact ca dumneata.La randul meu, i-am explicat cum vad eu problema si am ajuns la concluzia ca eu nu te-am inteles pe dumneata pentru faptul ca, eu am fost invatat matematica diferit de modul in care dumneavoastra ati fost invatat matematica .In ceea ce piveste corectitudinea acestei probleme, mi-a spus ca trebue sa ”mediteze” la modul in care eu am abordat aceasta problema. La a doua problema ,mi-a atras atentia ca eu am sarit peste unele precizari fapt care a si creat riposta dumneavoastra
    In concluzie, consider ca nu este rau sa ne spunem parerea si va rog sa nu mi-o luati in nume de rau,pentru faptul ca am spus modul in care gandesc
    Va multumesc pentru expunerea facuta in ultima parte.Cu deosebit respect DD

  10. ghioknt
    profesor

    Bună ziua domnule DD,
    În primul rând, vă mulţumesc pentru aprecierile pe care le faceţi la adresa strădaniilor mele de a-mi face cunoscute ideile
    despre ce înseamnă un raţionament matematic corect. Nu ştiu în ce măsură şi reuşesc acest lucru.
    În al doilea rând, sunt de acord cu faptul că forumul ar putea fi, în pricipal, un loc al discuţiilor din care să avem cu toţii
    de învăţat. De aceea sunt bucuros să primesc reacţii, fie ele critice, la cele scrise de mine, înseamnă că măcar sunt citit.
    Şi, ca sa fiu în ton cu cele zise mai sus, o să mai fac o încercare de a lămuri paradoxul cu privire la continuitatea lui cos(1/x) in 0.
    Când aplicăm teorema lui Lagrange pe intervalul [0; x], obţinem anumite numere în intervalul (0; x), pe care le notăm
    îndeobşte cu c. Numai că acest c nu este o variabilă independentă de care depinde F’, ci este un număr care depinde de x;
    când se schimbă intervalul [0; x], se schimbă şi c-ul. Corect ar fi să scriem c(x), aşa cum în fizică scriem v(t) dacă
    cele 2 mărimi depind una de alta. Aşadar, trebuie să vorbim despre o funcţie c(x) care tinde la 0 odată cu x, şi care
    îl tractează pe cos(1/c(x)) către 0, lăsându-ne impresia că cos(1/x) merge într-acolo ”de bunăvoie şi nesilit de nimeni”.
    Cu deosebită stimă,
    ghioknt.

Raspunde

Raspunde