Home/ Intrebari/Q 85657
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2014-02-26T18:18:24+02:00 In: In:

Matrici

Fie C ,D matrici de ordin 3 cu rang 1 ,sa se arate ca det(C+D)=0

Similare

4 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Dacă o coloană a unui determinant se scrie ca o sumă de 2 coloane, atunci determinantul se scrie ca o sumă de 2 determinanţi
    obţinuţi prin ”splitarea” coloanei respective. În consecinţă
    \left|\begin{matrix}c_{11}+d_{11}&c_{12}+d_{12}&c_{13}+d_{13}\\c_{21}+d_{21}&c_{22}+d_{22}&c_{23}+d_{23}\\c_{31}+d_{31}&c_{32}+d_{32}&c_{33}+d_{33}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}c_{11}&c_{12}+d_{12}&c_{13}+d_{13}\\c_{21}&c_{22}+d_{22}&c_{23}+d_{23}\\c_{31}&c_{32}+d_{32}&c_{33}+d_{33}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}d_{11}&c_{12}+d_{12}&c_{13}+d_{13}\\d_{21}&c_{22}+d_{22}&c_{23}+d_{23}\\d_{31}&c_{32}+d_{32}&c_{33}+d_{33}\end{matrix}\right|.
    Continuând această ”splitare”, vei obţine o sumă de 8 determinanţi. Doi dintre ei vor fi detC şi detD care sunt nuli.
    Şi ceilalţi 6 sunt nuli pentru că fiecare dintre ei se poate dezvolta după elementele acelei coloane care au drept minori –
    minori de ordinul 2 ai uneia dintre matrici, cum ar fi:
    \left|\begin{matrix}c_{11}&d_{12}&c_{13}\\c_{21}&d_{22}&c_{23}\\c_{31}&d_{32}&c_{33}\end{matrix}\right|=-d_{12}\left|\begin{matrix}c_{21}&c_{23}\\c_{31}&c_{33}\end{matrix}\right|+d_{22}\left|\begin{matrix}c_{11}&c_{13}\\c_{31}&c_{33}\end{matrix}\right|-d_{32}\left|\begin{matrix}c_{11}&c_{13}\\c_{21}&c_{23}\end{matrix}\right|=0.
    Minorii care au apărut în această dezvoltare sunt 0, pentru că rang C=1.
    Cu bine, ghioknt.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Deci ati luat o matrice C cu elementele c11 ,c12 etc,si o matrice d cu elementele d11,d12,etc si le-ati adunat adica a+b si dupa ati scos determnant din acesta suma,deci det(a+b) repezentant suma de 8 determinanti (dupa logica mea),dvs ati zis ca 2 dintre ei sunt det C si det B,unde nu ma prind?

  4. ghioknt
    profesor

    După cum vezi, determinanţii cu structura de tip det(C+D) se ”înmulţesc” prin ”diviziune”, ca protozoarele, dintr-unul se fac 2.
    Dacă continui, aceştia 2 vor deveni 4, iar cei 4 vor deveni 8. Aici procesul se opreşte pentru că nu mai au coloane – sumă.
    Unul din cei 8 va moşteni toate coloanele de la C, deci va fi detC, altul numai de la D, deci va fi detD. Alţi 3 vor primi 2 coloane de la C
    şi una de la D (ca în exemplul dat), iar ceilalţi o coloana de la C şi 2 de la D. Ai văzut motivele pentru care toţi sunt 0.
    Cu bine,
    ghioknt

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Am inteles,sa traiti !

Raspunde

Raspunde