Home/ Intrebari/Q 85640
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

calinasd
Pe: 2014-02-25T17:55:23+02:00 In: In:

logaritmi

x ^ [lg x+2 ] = 1000

Similare

1 raspuns

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    Evident, x>0

        \[ \begin{array}{l} x^{\left[ {\lg x + 2} \right]} = 1000 \Leftrightarrow \left[ {\lg x + 2} \right]\lg x = 3 \Leftrightarrow \\ \left( {\left[ {\lg x} \right] + 2} \right)\lg x = 3 \Leftrightarrow \left[ {\lg x} \right] = \frac{3}{{\lg x}} - 2 \\ \end{array} \]

    Se impune

        \[ x \ne 1 \]

    Observăm că pentru x>1, logaritmul este pozitiv, deci partea intreagă din logaritm este pozitivă. Pe de altă parte, dacă x-ul e mai mare decat

        \[ e^{\frac{3}{2}} \]

    , observăm că în partea dreaptă obtinem o expresie negativă, deci automat nu o să mai avem solutii după acest punct (având în vedere faptul că functia logaritmică este crescătoare).

    Cât despre determinarea solutiilor în acest interval, observăm că x = e verifică ecuatia. Unicitatea solutiei poate fi demonstrată utilizând injectivitatea functiilor din cei doi membrii, dar nu mă încumet, pentru că nu îmi sună prea bine partea aia întreagă acolo, cu referire injectivitate (pare a fi monotonă, dar nu cred că e).

    Mai avem de analizat intervalul (0,1), problematic, la o primă vedere, pentru că logaritmul ia valori negative, la fel si partea întreagă a lui, iar în partea dreaptă avem o expresie tot negativă, deci trebuie o altă metodă, care, eventual să implice proprietătile părtii întregi.

    Still thinking…

Raspunde

Raspunde