buna seara,
sunt student in anul 1 (insa am terminat acum cativa ani liceul) iar profesorul de analiza a zis ca ne da si un subiect din materia de liceu (siruri, continuitate, derivabilitate) pentru ca examenul de analiza sa fie mai acceptabil.
Insa acum am dat peste un tip de exercitiu de prin anii trecuti a carui formulare nu imi este deloc familiara si nu am reusit sa-l rezolv in totalitate (voi scrie expresie1(x) si expresie2(x) pentru ca formele exacte sunt irelevante, ma intereseaza strict algoritmul de rezolvare)
definim o functie f(x) =
expresie1(x) daca x<0
expresie2(x) daca x=>0
cerinte (partea interesanta):
a) valorile lui x astfel incat f sa fie continua
b) aratati ca f e derivabila si calculati f’ pentru orice x real
eu banuiesc ca:
la punctul a se egaleaza limitele laterale in x, adica expresie1(x)=expresie2(x) si se afla x (!?)
la punctul b aratam ca exista cele doua derivate laterale apoi se deriveaza cele doua expresii rezultand doua variante, una pt x<0 si una pt x=> 0 (insa ma cam induce in eroare „orice x real” pentru ca evident ca derivata rezultata nu e universala pe R, ar trebui sa aiba tot doua ramuri precum functia initiala)
am vazut formulari similare la alte exercitii dar acestea contineau de obicei in functie un parametru suplimentar care trebuia determinat
orice sugestie e binevenita. va multumesc anticipat.
Din câte stiu eu, acest tip de exercitii se rezolvă astfel:
La punctul a), trebuie practic să determinăm intervalele pe care f este continuă, adică domeniul de continuitate al functiei.
În primul rând trebuie determinat domeniul de definitie al functiei (dacă nu este dat de exercitiu). În marea majoritate a cazurilor, cele două (sau mai multe) expresii aflate pe ramurile legii de corespondentă a functiei sunt compuneri de functii elementare (care sunt continue pe domeniile lor de definitie), sau operatii cu functii (sau compuneri) de functii elementare. Deci trebuie determinat intervalul de continuitate al compunerii respective de functii, după care trebuie arătat că acest interval este inclus în domeniul de definitie al functiei.
Dacă domeniul de definitie prezintă puncte în care functia nu este definită, se calculează limitele laterale în aceste puncte.
După demonstrarea continuitătii pe subintervalele mărginite de zero, se calculează limitele laterale si în acest punct.
Pentru ca o functie să fie continuă într-un punct
trebuie ca limitele laterale în acel punct să fie egale cu valoarea functiei în punctul respectiv.
La punctul b) se procedează simliar, deci se utilizează operatiile cu functii derivabile, se calculează derivatele laterale în zero, iar dacă sunt egale, atunci functia este derivabilă în zero (deci pe întreg domeniul de definitie).
Intervalele pe care functia este derivabilă compun domeniul de derivabilitate al functiei.
Pentru calculul derivatei, se utilizează formulele de derivare (evident, se derivează pe ramuri).