Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
am gasit o problema de la o locala,dar nu si baremul,si nu stiu cum s-o rezolv:
fie a,b,c nr reale strict mai mari decat 0
stiind ca a^2+b^2+c^2=3
demonstrati ca a/(a+3)+b/(b+3)+c/(c+3)<=3/4
multumesc anticipat!
Inegalitatea dintre media aritmetică şi media pătratică conduce la:
, deci valoarea maximă a sumei a+b+c este 3.
Trebuie să demonstrezi că funcţia h(x)=x/(x+m), m>0, este concavă şi strict crescătoare pe intervalul (0; oo).
h este concavă pe intervalul I dacă pentru oricare u şi v din I are loc (h(u)+h(v))/2<=h((u+v)/2).
h este strict crescătoare pe I dacă pentru oricare u, v din I, distincte, are loc (h(u)-h(v))/(u-v)>0.
Presupunând că ai reuşit să demonstrezi acestea, avem că funcţia f(x)=x/(x+3) este concavă pe (0; oo); atunci pentru
trei numere a, b, c pozitive avem: (f(a)+f(b)+f(c))/3<=f((a+b+c)/3) sau a/(a+3)+b/(b+3)+c/(c+3)<=3(a+b+c)/(a+b+c+9).
Funcţia g(x)=x/(x+9) este strict crescătoare pe (0; oo), şi cum a+b+c<=3 deducem g(a+b+c)<=g(3), adică
3(a+b+c)/(a+b+c+9)<=9/(3+9)=3/4.
Observaţie. Dacă o funcţie este concavă pe intervalul I, adică inegalitatea din definiţie are loc pentru oricare 2 valori din I,
atunci ea are loc pentru oricare n valori din I (în ambii membri cei 2 numitori vor fi n în loc de 2).
Cu bine, ghioknt.