Home/ Intrebari/Q 84677
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felicia_b
Pe: 2013-12-17T16:52:27+02:00 In: In:

grupuri izomorfe

Pentru t apartine R se defineste \[{f_t}]
Daca G={f_t |t apartine R},atunci (G,o) este grup abelian si (G,o) izomorf cu (R,+).

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Observaţie: dacă f_t,\,f_u\in\,G,\; atunci\;f_t=f_u\Leftrightarrow\,t=u (demonstraţie banală)
    0) Există o lege de compoziţie pe G?
    Ştim că pe mulţimea F(R^2)=\{f\,|f:R^2\to\,R^2\} compunerea funcţiilor este lege de compoziţie şi (F(R^2),\,\circ) este monoid.
    Să arătăm că G este parte stabilă a lui F(R^2) în raport cu compunerea funcţiilor, adică \forall\,f_t,\,f_u\in\,G\;\exists\,f_v\in\,G\;a.i.\;f_t\circ\,f_u=f_v.
    Intr-adevăr, f_t\circ\,f_u(x,\,y)=f_t(f_u(x,\,y))=f_t(x+yu+\frac{au^2}{2},\,y+au)=(x+yu+\frac{au^2}{2}+yt+aut+\frac{at^2}{2},\,y+au+at)=
    =(x+y(u+t)+\frac{a(u+t)^2}{2},\,y+a(u+t))\Rightarrow\,f_t\circ\,f_u=f_{u+t}.
    Răspunsul la întrebare este: legea de compoziţie pe G este legea de compoziţie indusă pe G de compunerea funcţiilor pe F(R^2).
    1) f_0(x,\,y)=(x,\,y)\Rightarrow\,f_0=restrictia\;lui\;1_{R^2}\;pe\;G, deci f_0 este elementul neutru şi pe G.
    2) Fie f_t\in\,G;\;f_t\circ\,f_{-t}=f_{-t+t}=f_0;\;f_{-t}\circ\,f_t=f_{t-t}=f_0, ceeace arată că toate funcţiile din G sunt inversabile şi au inversele tot în G.
    Din 0), 1) si 2) deducem că (G,\,\circ\,) este subgrup al monoidului (F(R^2),\,\circ\,), adică este grup.
    f_u\circ\,f_t=f_{t+u};\;t+u=u+t\Rightarrow\,f_u\circ\,f_t=f_t\circ\,f_u (cf. observaţiei iniţiale), deci legea de compoziţie indusă pe G este comutativă (G este subgrup comutativ al unui monoid necomutativ).
    3) Evident funcţia \varphi:R\to\,G,\;\varphi(t)=f_t este surjectivă pentru că orice funcţie din G este asociată unui număr real. Observaţia iniţială se poate scrie acum \varphi(t)=\varphi(u)\Leftrightarrow\,t=u, deci este şi injectivă.
    \varphi(u+t)=f_{u+t}=f_{t+u}=f_u\circ\,f_t=\varphi(u)\circ\,\varphi(t), deci funcţia noastră este şi morfism.
    În concluzie grupurile (G, o) si (R, +) sunt izomorfe.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde