Home/ Intrebari/Q 83771
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

asdf
Pe: 2013-10-31T19:14:30+02:00 In: In:

sir

Se da sirul (an)neN definit in modul urmator 0<a(indice0)<a(indice1)-1, a(indice n+1)=3(indice n)-2a(indice n-1)
Sa se arate ca a(indice1981)>2^1980

Similare

1 raspuns

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Enunţul scris de tine este incorect, cred că în loc de 3(indice n) ar fi 3a(indice n).

    Şirului din enunţ i se asociază ecuaţia caracteristică:

    \bl t^{\small 2}=3t-2,\;sau\;t^{\small 2}-3t+2=0

    \bl (t)_{\small 1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{\small 2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 1}{2},\;deci\;t_{\small 1}=1,\;t_{\small 2}=2\Rightarrow a_{\small n}=c_{\small 1}\cdot 1^{\small n}+c_{\small 2}\cdot 2^{\small n}=c_{\small 1}+c_{\small 2}\cdot 2^{\small n}, unde c1 şi c2 sunt 2 constante pe care încercăm să le determinăm:

    Pentru n=0, avem că: \bl a_{\small 0}=c_{\small 1}+c_{\small 2}.

    Pentru n=1, avem că: \bl a_{\small 1}=c_{\small 1}+2\cdot c_{\small 2}=a_{\small 0}+c_{\small 2}\Rightarrow c_{\small 2}=a_{\small 1}-a_{\small 0}. Apoi: \bl c_{\small 1}=2a_{\small 0}-a_{\small 1}.

    Deci \bl a_{\small n}=2a_{\small 0}-a_{\small 1}+(a_{\small 1}-a_{\small 0})\cdot 2^{\small n}\Rightarrow a_{\small 1981}=2a_{\small 0}-a_{\small 1}+(a_{\small 1}-a_{\small 0})\cdot 2^{\small 1981}

    Din enunţ: \bl a_{\small 1}-a_{\small 0}>1\Rightarrow (a_{\small 1}-a_{\small 0})\cdot 2^{\small 1981}> 2^{\small 1981} (1).

    Apoi tot din enunţ: \bl 2\cdot a_{\small 0}>0 şi \bl 2\cdot a_{\small 0}-a_{\small 1}>-a_{\small 1} (2).

    Adunăm relaţiile (1) şi (2) membru cu membru: \bl a_{\small 1981}>2^{\small 1981}-a_{\small 1}>2^{\small 1980}, pentru că a1>1.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde