1.Demonstrati prin metoda reducerii la absurd ca :sqrt(2,) sqrt(3), sqrt(5),sqrt(6),sqrt(2)-sqrt(3),sqrt(3)+sqrt(5),sqrt(2)+sqrt(5),sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5) sunt numere irationale
2.Demonstrati prin metoda reducerii la absurd ca : |x-1|+|y-2|=0=>x=1, y=2 unde x,y ∈ ℝ .
3.Demonstrati prin metoda reducerii la absurd ca : a la puterea 2n +b la puterea 2n=0=>a=0, b=0,a,b ∈ ℝ.
4.Demonstrati ca daca a,b,c ∈ ℚ si a+sqrt(2b)+sqrt(3c)=0, atunci a=b=c=0
5.Demonstrati ca daca a,b,c ∈ ℚ si a+b la a treia radical din 2+c la a treia radical din 4 =0, atunci a=b=c=0[/img]
[/code]
1)Presupui prin reducere la absurd ca sqrt(2) este rational.Atunci sqrt(2) se poate scrie ca m/n,(m,n)=1,m,n apartin la N .Ridici la patrat si obtii ca 2=m^2/n^2.De aici rezulta ca m^2 se divide cu 2.Rezulta ca m se divide cu 2.Deci m=2k,k apartine la N.Inlocuind cu aceasta obtinem ca : 2=4k^2/n^2.De aici rezulta ca 2k^2=n^2. Rezulta ca n^2 se divide cu 2(cum k^2 apartine lui N),si prin urmare si n, contradictie cu (m,n)=1.Analog si celelalte.
2)Presupunem prin reducere la absurd ca x!=1 si y!=2.De aici rezulta ca |x-1|>0 si |y-2|>0.Prin insumare rezulta contradictie,deci x=1 si y=2.
3)Presupunem ca a!=0 ,b!=0. Atunci (a^n)^2>0 oricare e a real,(b^n)^2>0 oricare e b real.Contradictie.
4)O mica greseala,cred ca trebuia sa fie sqrt(2)*b+sqrt(3)*c,pentru ca altfel aveam solutia -5,2,3. Pentru a=0 obtinem sqrt(2)*b+sqrt(3)*c=0=>sqrt(2)*b=-sqrt(3)*c daca b e diferit de zero =>-sqrt(2/3)=c/b.Dar c,b apartin la Q =>c/b apartine la Q contradictie pentru ca sqrt(2/3) nu apartine la Q.Deci b=0=>c=0.Daca a!=0,imparti cu a si faci calculele analog si vei obtine o contradictie.
5) Pui in loc b^3=o care apartine la Q si c^3=p.Te folosesti de 4 de unde obtii a=p=o=0 si revenind la notatii obtii solutia 0,0,0.