Home/ Intrebari/Q 83762
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

classius
Pe: 2013-10-31T15:42:49+02:00 In: In:

Limita

Fie sirurile

a_n=\frac 1{\sqrt{n^2+1}}+\frac 1{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac 1{\sqrt{n^2+n}}
b_n=n

Sa se calculeze \lim_{n\to \infty} (a_n)^{b_n}.

Limita lui a_n am calculat-o cu criteriul clestelui insa nu a folosit deoarece voi avea 1^{\infty}.

Exercitiul acesta se gaseste in manualul meu la capitolul siruri cu limita e asa ca ma gandesc ca a_n ar trebui transformat in ceva de forma 1+x_n dar nu stiu cum sa o fac.

Multumesc!

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Ba foloseste, pentru ca ai aflat de ce boala sufera pacientul, iar boala 1^oo are tratament. Cum bine ai scris, a_n=1+x_n cu
    x_n=( a_n)-1. Asadar

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^{b_n } = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \left( {a_n - 1} \right)} \right]^{\frac{1}{{a_n - 1}} \cdot b_n \left( {a_n - 1} \right)} = e^ {\lim }\limits_{n \to \infty } b_n \left( {a_n - 1} \right)} \]

    rezultat valabil pentru orice pereche de siruri aflate in cazul 1^oo.

        \[ \begin{array}{l} b_n \left( {a_n - 1} \right) = n\left( {\frac{1}{{\sqrt {n^2 + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {n^2 + 2} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {n^2 + n} }} - 1} \right) = \left( {\frac{n}{{\sqrt {n^2 + 1} }} - 1} \right) + \left( {\frac{n}{{\sqrt {n^2 + 2} }} - 1} \right) + ... + \left( {\frac{n}{{\sqrt {n^2 + n} }} - 1} \right) = \\ = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {n^2 + 1} \left( {n + \sqrt {n^2 + 1} } \right)}} + \frac{{ - 2}}{{\sqrt {n^2 + 2} \left( {n + \sqrt {n^2 + 2} } \right)}} + ... + \frac{{ - n}}{{\sqrt {n^2 + n} \left( {n + \sqrt {n^2 + n} } \right)}} \\ \frac{{ - 1 - 2 - ... - n}}{{\sqrt {n^2 + 1} \left( {n + \sqrt {n^2 + 1} } \right)}} = \frac{{ - 1 - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{n^2 }}} \left( {1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{n^2 }}} } \right)}} \le b_n \left( {a_n - 1} \right) \le \frac{{ - 1 - 2 - ... - n}}{{\sqrt {n^2 + n} \left( {n + \sqrt {n^2 + n} } \right)}} = \frac{{ - 1 - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} \left( {1 + \sqrt {1 + \frac{1}{n}} } \right)}}. \\ b_n \left( {a_n - 1} \right) \to - \frac{1}{2} \Rightarrow { \lim }\limits_{n \to \infty } a_n^{b_n } = e^{ - \frac{1}{2}} . \\ \end{array} \]

  2. viperaza

    exercitiul a fost dat la OLM 2013 Cluj, subiectul 3, dar putin schimbat. se cere la a) calculul lui an iar la b)
    \lim_{x\rightarrow \infty }n^{\alpha }(1-a_{n}), \alpha \epsilon \mathbb{R}
    vezi barem:

  4. ghioknt
    profesor

    Da, viperaza are dreptate. Am apăsat din greşeală pe ”trimite” şi rezolvarea mea chinuită chiar a plecat aşa, necorectată,
    fără diacritice şi fără enervanta ”semnatură”.
    Aşadar la ultima expresie a lui b_n((a_n)-1) lipseşte un 2 la numitor, aşa că cele 2 limite trebuiau să fie -1/4 si e^(-1/4).
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde