Folosind criteriul lui Cauchy, sa se studieze convergenta sirurilor:
a(indice n) = sin 1/2 + sin 2/2^2 +…+ sin n/2^n
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Folosind criteriul lui Cauchy, sa se studieze convergenta sirurilor:
a(indice n) = sin 1/2 + sin 2/2^2 +…+ sin n/2^n
Fie a(n+p)=sin(1/2)+sin(2/2^2)+sin(3/2^3)+…+sin(n/2^n)+sin((n+1)/2^(n+1))+…+sin((n+p)/2^(n+p)) p=nr natural
an=sin(1/2)+…+sin(n/2^n))
lan+p-anl=lsin((n+1)/2^(n+1)+sin((n+2)/2^(n+2)+…+sin((n+p)/s^(n+p))l
Se observa ca (n+1)/2^(n+1), (n+2)/2^(n+2),…,(n+p)/2^(n+p) sunt valori pozitive si f. mici. Ele corespund intervalului (0, Pi/2) in care sinusul e stict pozitiv.Deci in interiorul modulului avem o suma de valori pozitive care este evident mai mare decat sin(n+p)/2^(n+p)=e(epsilon)
vom scrie ca
lsin(n+1)/2^(n+1)+…+sin(n+p)/2^(n+p)l>e(epsilon)
Deci sirul este divergent
multumesc mult
Sandy_sc a stabilit că |a_(n+p)-a_n|=sin(n/2^n)+sin((n+1)/2^(n+1))+… +sin((n+p)/2^(n+p))<n/2^n+(n+1)/2^(n+1)+…+(n+p)/2^(n+p).
Fie x_n=n/2^n; pentru că lim(x_(n+1)/x_n)=lim((n+1)/(2n))=1/2, deducem că există numărul natural m a.î. pentru orice n>=m termenii
x_(n+1)/x_n intră în vecinătatea (1/4; 3/4) a lui 1/2, deci x_(n+1)<(3/4)x_n, x_(n+2)<(3/4)^2*x_n şamd (inductiv) x_(n+p)<(3/4)^p*x_n.
|a_(n+p)-a_n|<x_n[3/4+(3/4)^2+…+(3/4)^p]=x_n[(3/4-(3/4)^(p+1))/(1/4)<x_n[(3/4)/(1/4)]=3x_n. (1)
Se ştie că limx_n=0, deci pentru orice eps>0 există n(eps), natural, a.î. pentru orice n>=n(eps): x_n<eps/3. (2)
Avem libertatea să alegem n(eps)>m (în cazul în care nu este deja) a. î. să fie adevarată şi (1); din (1) şi (2) conchidem:
pentru orice eps>0, există n(eps) a.î. pentru orice n>=n(eps) are loc |a_(n+p)-a_n|<eps.
In concluzie şirul este convergent.
Greşeala lui sandy_sc constă în aceea că el nu ia un eps arbitrar ci unul care depinde şi de n şi de p !?
Sper să fii de acord măcar cu una din cele 2 rezolvări.
Cu bine, ghioknt.