Home/ Intrebari/Q 83575
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2013-10-23T16:45:56+03:00 In: In:

inecuatie cu parametru

Mulţimea tuturor valorilor parametrului real m pentru care inecuaţia (9/25)^x-m*(3/5)^x+1>0 este adevarata pentru orice x<0 este

Eu am facut o substitutie am notat (3/5)^x=y>0 si vine y^2-my+1>0 si de aici am calculat delta dar nu stiu cum sa continui.

Similare

12 raspunsuri

  1. grapefruit
    maestru (V)

    nimeni?

  2. PallMall

        \[ \begin{array}{l} \left( {\frac{9}{{25}}} \right)^x - m\left( {\frac{3}{5}} \right)^x + 1 > 0,\forall x < 0 \\ fie\,\,y = \left( {\frac{3}{5}} \right)^x \\ \to y^2 - my + 1 > 0 \\ din\,\,graficul\,\,functiei\,\,de\,\,gradul\,\,2\,\,se\,\,observa\,\,ca\,\,pentru\,\,ca\,\,functia\,\,sa \\ fie\,\,pozitiva\, \\ \frac{{ - \Delta }}{4} > 0 \to \Delta < 0 \to m^2 - 4 < 0 \\ \to m \in ( - 2,2) \\ si\,\,se\,\,mai\,\,observa\,\,ca\,\,pentru\,\forall m < 0\,\,functia\,\,e\,\,pozitiva \\ S = m \in ( - \infty ,0) \cup ( - 2,2) \to m \in ( - \infty ,2) \\ \end{array} \]

    [/tex]

  4. grapefruit
    maestru (V)

    de unde ai obs. ca pt orice m<0 functia e pozitiva.
    Eu m-am gandit asa fie y^2 -my+1>0
    y^2+1>0, mai ramane -my>0 pt orice y >0 dar daca m negativ rezulta ca -m e pozitiv iar produsul dintre 2 numere poz este unul pozitiv.

  5. PallMall

        \[ \begin{array}{l} pai\,\,ai\,\,asa\,\,y^2 - my + 1 > 0,y > 0 \\ dupa\,\,cum\,\,ai\,\,spus\,\,y^2 + 1 > 0 \to - my > 0\,\,dar\,\,y > 0 \to - m > 0 \to m < 0 \\ \end{array} \]

    dar se si observa ca daca pui un numar negativ ..cu (-1) din fata face nr pozitiv..

  6. grapefruit
    maestru (V)

    Dar acel x<0 din ipoteza ce rol are in rezultatul problemei,ca nu ii vad niciun rol.

  8. ghioknt
    profesor

    Dacă facem substituţia y=(3/5)^x, trebuie să ţinem cont că funcţia exponenţiala cu baza 3/5 este strict descrescătoare;
    x<0, din ipoteză, implică (3/5)^x> (3/5)^0, adică y>1. Problema se reformulează aşa: aflaţi mulţimea tuturor valorilor lui m
    pentru care inegalitatea y^2-my+1>0 este adevarată pentru orice y>1. Această cerinţă se poate îndeplini în 2 situaţii.
    a) Delta<0 şi atunci funcţia din membrul I este pozitivă pentru orice y, nu numai pentru y>1 (semnul lui ,,a”)
    b) Delta>=0, dar valorile negative şi 0 sunt în intervalul (-oo; 1], acolo unde nu ne interesează ce se întâmplă.
    a) m^2-4<0 dă mE(-2; 2).
    b) m^2-4>=0 dă mE(-oo; -2]U[2; oo).
    Rădăcinile sunt în stânga lui 1 este echiv. cu: 1 nu se află între rădăcini, adică f(1)>=0 si -b/(2a)<=1 (centrul intervalului [y1; y2]
    este în stânga lui 1. Avem deci: 1-m+1>=0 şi m/2<=1 şi ambele dau m<=2 sau mE(-oo; 2]. Intersecţia cu reuniunea de mai
    sus dă mE(-oo; -2]U{2}.
    In final reuniunea cu soluţia de la a) dă mE(-oo; 2].
    Aştept întrebări sau reclamaţii.
    Cu bine, ghioknt.

  9. grapefruit
    maestru (V)

    Am 2 nelamuriri.
    Daca y^2-my+1>0 radacinile ecuatiei sunt y1 si y2 si cum am demonstrat ca y>1 nu inseamna ca si y1>1 si y2>1 adica in dreapta lui 1.
    Si nu mi-am dat seama cu centrul intervalului y1 y2 de ce este -b/2a

  10. ghioknt
    profesor

    Cu plăcere, iţi răspund următoarele.
    Nu am demonstrat că y>1, ci că problema dată se transformă aşa: inecuaţia în x se transformă în inecuaţia y^2-my+1>0,
    iar condiţia ,,pentru orice x<0″ se transformă în ,,pentru orice y>1″. Acum problema trebuie interpretată mental aşa:
    Aflaţi valorile lui m a.î. tabelul de semne pentru f(y)=y^2-my+1 arată astfel:

        \[ \begin{array}{l} \quad y\quad - \infty \;aici\quad este\;\;\;1\quad \quad \quad \quad \infty \\ f\left( y \right)\quad \;\;o\;perdeluta\quad \,\, + \; + \; + \; + \\ \end{array} \]

    Ideea este că pe intervalul (1; oo) trebuie să vezi numai semnul +, iar pe intervalul (-oo; 1] problema nu ne cere nimic;
    dacă te interesează ce este acolo, ridici perdeluţa, şi ce poţi să vezi la o funcţie de gradul II? Ori numai semnul +,
    situaţie descrisă de mine la a), ori situaţia descrisă la b):

        \[ \begin{array}{l} \quad y\quad - \infty \quad \quad \quad y_1 \quad \quad \quad \frac{{ - b}}{{2a}}\quad \quad \quad y_2 \quad \quad \quad 1 \\ f\left( y \right)\quad \quad \quad + \quad \,\;0\quad - \quad - \quad - \quad \quad 0\quad + \quad \quad \\ \end{array} \]

    f(1)>0 (are semnul lui a) mă asigură că 1 nu se află între rădăcini; -b/(2a)<1 mă asigură că 1 nu se află în stânga rădăcinilor;
    delta>=0 mă asigură că am inclus şi cazul în care, în stânga lui 1, rădăcinile coincid.
    Dacă eşti de acord că centrul intervalului [y1; y2] este (y1+y2)/2 şi că y1+y2=-b/a, atunci vei fi de acord că centrul
    (mijlocul) lui coincide cu abscisa vârfului.

    Pariez cu mine însumi că acum ai inţeles. Oricum îmi face plăcere să discut cu cei care au o reacţie, bună sau nu, la eforturile mele.

    Cu bine, ghioknt.

  12. grapefruit
    maestru (V)

    Cred ca am inteles.
    Daca poti sa imi dai o problema asemanatoare cu alte conditii de ipoteza sa ma verifici si in acelasi timp sa ma verific si eu ar fi minunat.

    Eu m-am mai gandit la o alta varianta de abordare.
    Deci luam problema faceam 3 tabele cu 3 posibilitati si faceam tabele cu semne.
    Primul luam sa zicem y1>1 si y2<1 si trasam semnele
    Al doilea luam y1>1 si y2>1 trasam semnele
    Al treilea luam y1 <1 si y2<1 trasam semnele
    Noi trb sa aveam pe intervalul 1,infinit numai plus si observam ca numai cazul 3 este bun.
    Acum stim deci ca y1<1 si y2<1 deci y1+y2<2si din relatiile lui viete rezulta ca m<2 si asta e solutia

    Daca e gresit rationamentul sa imi zici.

  13. ghioknt
    profesor

    Raţionamentul nu este greşit, dar este incomplet.
    Condiţia y1+y2<2 ar putea fi necesară, dar nu este suficientă, pentru că din y1+y2<2 nu rezultă ordinea y1, y2, 1. Aş putea avea
    y1=-5, y2=4, deci y1+y2<2 fără ca rădăcinile să fie în stânga lui 1. Neapărat trebuie adăugat f(1)>=0. Numai că, simplitatea
    acestui exerciţiu distorsionează puternic raţionamentul. Ai observat în rezolvarea mea că cele 2 condiţii conduc la aceeaşi
    inecuaţie, aşa că, chiar dacă uiţi una dintre ele, rezultatul nu este afectat. Tu ai pierdut insă soluţia m=2 pentru că nu ai considerat
    şi cazul y1=y2=1, care chiar se întâmplă: y^2-2y+1>0, adică (y-1)^2>0 este adevărat pentru toţi y>1.
    Iată şi o nucă tare: aflaţi valorile reale ale lui m pentru care (m^2+2m)x^2+ 2(m+3)x +1>0 pentru orice x>-1/3.

    Cu bine, ghioknt.

  14. grapefruit
    maestru (V)

    f(-1/3)>=0 deci in loc de x punem -1/3 si eu am obtinut (m^+2m)/9 – (2m-6)/3+1>=0 achivalent cu m^2-4m+21>=0 care se intampla oricare ar fi m real.
    Centru intervalului y1 y2 este -b/2a = -2(m+3)/2m^2+4m care este in stanga lui -1/3 deci <=-1/3,rezolvam inecuatie o intersectam cu R care este de fapt solutia inecuatiei.
    Este bine?

  16. ghioknt
    profesor

    Pentru a nu pierde nicio soluţie a problemei, trebuie să-ţi imaginezi şi să analizezi toate situaţiile posibile.
    1) Cazul a=0, din cauză că m=-2.
    2) Cazul a=0, din cauză că m=0. Studiezi ce se întâmpla când inecuaţia degenerează în una de gradul I şi afli dacă m=-2, sau m=0
    sunt sau nu soluţii.
    In toate cazurile care urmează trebuie pusă condiţia a>0, căci numai aşa o funcţie de gr. 2 poate avea valori pozitive pe un interval nemărginit.
    3) Cazul f are numai valori pozitive; condiţii: a>0, delta<0.
    4)Cazul f are şi valori negative sau 0, dar acestea sunt în stânga lui -1/3; condiţii: a>0, delta >=0, f(-1/3)>=0, -b/(2a)<=-1/3.
    In cazurile 3) si 4) ai de rezolvat nişte sisteme de inecuaţii, iar soluţia problemei este reuniunea celor 4 soluţii (unele pot fi mulţimea vidă).
    Atenţie, la inecuaţia scrisă de tine, corect este -(2m+6)/3.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde