Home/ Intrebari/Q 83353
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Lusesita
Pe: 2013-10-13T09:23:29+03:00 In: In:

monotonie si marginire

Va rog frumos ..daca puteti sa imi aratati cum se fac sirurile astea…trb sa arat monotonia si marginirea lor. Am nevoie de ele …Va multumesc mult anticipat .

1) xn= 1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(n-1)n

2) xn=1+1/(2**alfa) +1/(3**alfa)+…+1/(n**alfa) , alfa apartine {2,3}

1/(2**alfa) = 1 supra (2 la puterea alfa)

Similare

2 raspunsuri

  1. classius

    NOTA: La sirul de la exercitiul 1 o sa imi asum ca primul termen este x_{2} deoarece x_{1} nu prea ar avea sens.

    Pentru ambele: Monotonia e usoara, trebuie sa faci doar diferenta dintre x_{n}\ si \ x_{n+1}

    La 1 vei obtine : x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{n(n+1)} si deoarece diferenta e pozitiva(1 e pozitiv si produsul n(n+1) e pozitiv) sirul e strict crescator.

    La 2: x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{(n+1)^{\alpha }}, pozitiv, la fel ca mai sus deci si acest sir este strict crescator.

    Cand un sir este strict crescator marginea inferioara este primul termen deci:
    x_{n}\geq x_{2}\ \forall\ n\in\mathbb{N^{*}}

    Pentru marginea superioara:

    1)Voi incepe cu urmatoarea egalitate:

    \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}(se poate verifica destul de usor)

    Daca rescriem adunarea dupa formula asta avem:
    1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}
    Dupa cum se observa, inafara de primul si ultimul pentru fiecare termen pozitiv exista un opus iar suma lor este 0, astfel suma va ajunge x_{n}=1-\frac{1}{n} care e mai mic decat 1.

    Avem \frac{1}{2}<x_{n}<1.

    2)Pentru inceput voi rescrie sirul:
    x_{n}-1=\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+...+\frac{1}{n^{\alpha}}
    Deoarece \alpha este in multimea {2,3} cea mai mica valoare a lui \alpha va fi 2 deci cea mai mare valoare a sirului de mai sus va fi:
    x_{n}-1=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}

    Asta e valoarea pentru care trebuie sa gasim o margine superioara.
    Vom folosi urmatoarea inegalitate:
    \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n-1))}

    Daca le punem unele sub altele avem:
    \frac{1}{2^{2}}<\frac{1}{1\cdot2}
    \frac{1}{3^{2}}<\frac{1}{2\cdot3}
    .\\.\\.\\
    \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{(n-1)n}

    Daca adunam inegalitatile vom obtine:
    a_{n}-1<\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{(n-1)n}

    Rezolvarea sirului din dreapta inegalitatii se face ca la exercitiul anterior si cum acesta este mai mare decat a_{n}-1 marginea lui va fi compatibila pentru a fi marginea lui a_{n}-1.

    Vom avea: a_{n}-1<1 deci a_{n}<2.

    Restul calculelor si concluziilor cred ca le poti face/trage singura.

  2. Lusesita

    multumesc mult 🙂

Raspunde

Raspunde