Home/ Intrebari/Q 83342
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Miluss
Pe: 2013-10-12T15:19:57+03:00 In: In:

numere reale

Daca numerele reale a, b,c satisfac relatiile abc= 1; si a+b+c= 1/a+1/b+1/c, demonstati ca cel putin unul dintre numerele a,b,c este egal cu 1.

Similare

2 raspunsuri

  1. PallMall

        \[ \begin{array}{l} a,b,c \in R\,,\,\,abc = 1,a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c},a,b,c \in R\backslash \{ 0\} \\ Pp\,a,b,c\,\,\,diferite\,de\,\,1 \\ a + b + c = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}} \\ a + b + c = ab + ac + bc \\ a(b - 1) + b(c - 1) + c(a - 1) = 0 \\ daca\,\,a,b,c\,sunt\,diferite\,\,de\,0\,\,si\,\,1 \\ \to b - 1 = 0\,\,sau\,c - 1 = 0\,\,sau\,\,a - 1 = 0 \\ a = 1,\sau\,b = 1\,sau,\c = 1\,\,fals(am\,\,presup us,\,a,b,c\,\,diferit\,\,de\,\,1) \\ rezulta\,\,cel\,\,putin\,\,un\,\,nr\,\,este\,\,1 \\ \end{array} \]

  2. bedrix
    expert (VI)

    Aplicam metoda reducerii la absurd
    Presupunem ca a,b,c diferite de 1
    abc=1 (1) , rezulta bc=1/a (2)
    1/a + 1/b + 1/c = a+b+c (3) , exista daca a,b,c E R*
    Din (1) si (3) rezulta a+b+c = a(b+c) + bc (4)
    Din (2) si (4) rezulta a-1/a = (b+c)(a-1) echivalent cu (a-1)(a+1)/a = (b+c)(a-1) | :(a-1) , impartirea are sens deoarece (a-1) este diferit de 0 ,
    Rezulta b+c =(a+1)/a |*ac rezulta abc+ac^2 = ac + c , folosim (1) , rezulta (c-1)(ac-1)=0 rezulta ac=1 (5) deoarece c-1 este diferit de 0
    Din (1) si (5) rezulta b=1 , contradictie.

Raspunde

Raspunde