Home/ Intrebari/Q 83253
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

silviumik
Pe: 2013-10-08T20:09:52+03:00 In: In:

Injectivitate si surjectivitate …

Fie f:A–>B o functie. Sa se arata ca :
a) f este injectiva daca si numai daca exista functia g:B–>A astfel incat gof=1A

b) f este surjectiva daca si numai daca exista functia h:B–>A astfel incat foh=1B

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Fie x1, x2 din A a.i. f(x1)=f(x2); dacă arătăm că x1=x2, atunci funcţia f este injectivă.

        \[ \begin{array}{l} \left( {g \circ f} \right)\left( {x_1 } \right) = 1_A \left( {x_1 } \right) = x_1 ,\quad \left( {g \circ f} \right)\left( {x_2 } \right) = 1_A \left( {x_2 } \right) = x_2 . \\ f\left( {x_1 } \right) = f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow \left( {g \circ f} \right)\left( {x_1 } \right) = g\left( {f\left( {x_1 } \right)} \right) = g\left( {f\left( {x_2 } \right)} \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( {x_2 } \right) \Rightarrow x_1 = x_2 \\ \end{array} \]

    Fie y din B; dacă aratăm că există x in A a.î. f(x)=y, atunci f este surjectivă.
    Pentru că h este definită pe B cu valori în A, există x în A a.î. h(y)=x. Din

        \[ \left( {f \circ h} \right)\left( y \right) = y \Rightarrow f\left( {h\left( y \right)} \right) = y \Rightarrow f\left( x \right) = y. \]

    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde