Home/ Intrebari/Q 82238
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Marius7
Pe: 2013-07-09T08:18:14+03:00 In: In:

Trigonometrie in triunghi

1.Intr-un triunghi laturile a, b, c sunt in progresie aritmetica, a fiind termenul din mijloc. Sa se calculeze expresia E=tg(B/2)*tg(C/2)

2.Triunghi ABC; tg(A/2)=1/3; b+c=3a. Dem ca B=pi/2 sau C=pi/2

Similare

2 raspunsuri

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Pentru problema 1:

    a = (b + c)/2 => 2a = b + c

    Din teorema sinusului şi din proprietăţile proporţiilor avem că:

    a/sinA = b/sinB = c/sinC => a/sinA = (b + c)/(sinB + sinC)

    a/sinA = 2a/(sinB + sinC), împărţim cu a care sigur este diferită de zero => 1/sinA = 2/(sinB + sinC) =>

    2*sinA = sinB + sinC = 2*sin[(B+C)/2]*cos[(B-C)/2]

    sinA = sin[(B+C)/2]*cos[(B-C)/2]

    Apoi:

    A + B + C = pi => A/2 + B/2 + C/2 = pi/2 => B/2 + C/2 = pi/2 – A/2, sau:

    (B+C)/2 = pi/2 – A/2 => sin[(B+C)/2] = sin(pi/2 – A/2) = cos(A/2)

    Deci:

    sinA = cos(A/2)*cos[(B-C)/2]

    2*sin(A/2) * cos(A/2) = cos(A/2)*cos[(B-C)/2].

    Cum cos(A/2) este diferit de zero (adică A/2 <> pi/2, adică A <> pi, adevărat), împărţim relaţia cu cos(A/2):

    2*sin(A/2) = cos[(B-C)/2]

    Din relaţiile de mai sus, avem că:

    A/2 = pi/2 – B/2 – C/2, deci sin(A/2) = sin(pi/2 – B/2 – C/2) = cos[(B+C)/2]. Înlocuim:

    2*cos[(B+C)/2] = cos[(B-C)/2], sau:

    2 * [cos(B/2)*cos(C/2) – sin(B/2)*sin(C/2) ] = cos(B/2)*cos(C/2) + sin(B/2)*sin(C/2).

    Împărţim relaţia de mai sus, cu cos(B/2)*cos(C/2), care nu este nul, vezi obsevaţia de mai sus pentru cos(A/2) <> 0, valabilă şi pentru cos(B/2) sau cos(C/2):

    2 * {1- [sin(B/2)*sin(C/2)]/ [cos(B/2)*cos(C/2)] } = 1 + [sin(B/2)*sin(C/2)]/ [cos(B/2)*cos(C/2)], sau:

    2 * [1- tg(B/2)*tg(C/2)] = 1 + tg(B/2)*tg(C/2), adică:

    2*(1 – E) = 1 + E => 2 – 2*E = 1 + E => 3*E = 1 => E = 1/3.

    Sper să te fi ajutat. Mult succes !

    Green eyes.

  2. ghioknt
    profesor

    1).

        \[ \begin{array}{l} tg\frac{B}{2} \cdot tg\frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p\left( {p - b} \right)}}} \cdot \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}{{p\left( {p - c} \right)}}} = \frac{{p - a}}{p}. \\ Dar\,\,p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \frac{{3a}}{2},\,\,p - a = \frac{a}{2},\,\,deci\,\,tg\frac{B}{2} \cdot tg\frac{C}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{{3a}} = \frac{1}{3}. \\ \end{array} \]

    2).

        \[ \begin{array}{l} Acum\,\,p = 2a,\,\,iar\,\,tg\frac{A}{2} = \frac{1}{3}\,\,devine] = 2a^2 \Leftrightarrow 9\left( { - 2a^2 + bc} \right) = 2a^2 \,\,\,(caci\,\,b + c = 3a) \Leftrightarrow bc = \frac{{20a^2 }}{9}. \\ Avand\,\,suma\,\,b + c\,\,si\,\,produsul\,\,bc\,\,formam\,\,ecuatia\,\,de\,\,gradul\,\,2\,\,in\,\,t,\,\,ale\,\,carei\,\,radacini\,\,t_1 \,\,si\,\,t_2 \,\,vor\,\,fi \\ tocmai\,\,b\,\,si\,\,c:\,\,t^2 - 3at + \frac{{20a^2 }}{9} = 0\,\,cu\,\,t_1 = \frac{{4a}}{3},\,\,t_2 = \frac{{5a}}{3}. \\ Cum\,\,a^2 + \left( {\frac{{4a}}{3}} \right)^2 = \left( {\frac{{5a}}{3}} \right)^2 \,\,deducem\,\,ca\,\,unghiul\,\,opus\,\,laturii\,\,cu\,\,lungimea\,\,\frac{{5a}}{3}\,,\,\,B\,\,sau\,\,C\,,\,\,este\,\,drept. \\ \end{array} \]

    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde