Home/ Intrebari/Q 82177
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Iatan
Pe: 2013-06-25T11:07:52+03:00 In: In:

Problema puteri

Sa se arate ca (1*2*3*…*2000*2001) toata paranteza la puterea a doua
>2001^2001.generalizare

Scuze dar am uitat sa scriu la a doua

Similare

5 raspunsuri

  1. Minecraft
    maestru (V)

    Iatan wrote: Sa se arate ca (1*2*3*…*2000*2001)>2001^2001.generalizare


    1*2=2! < 2*2=2^2
    1*2*3=3! < 3*3*3=3^3
    …
    1*2*3*…*2000*2001=2001! < 2001^2001

  2. TheodorMunteanu

    demonstram prin inductie ca (n!)^2\geq n^n
    pentru n=2 e adevarata
    presupunem propozitia adevarata pentru n si demonstram pentru n+1
    [(n+1)!]^2=(n!)^2\cdot (n+1)^2\geq n^n\cdot (n+1)^2>(n+1)^{n+1}daca si numai daca n^n>(n+1)^{n-1}
    impartim aceasta inegalitate cu n^{n-1}si obtinem ca n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}care e adevarata deoarece \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}=e<3\leq n

  4. bedrix
    expert (VI)

    Frumoasa rezolvarea dl. TheodorMunteanu, sub rezerva ca metoda aplicata este la nivel de liceu.
    Sa incercam o metoda la nivelul clasei a V-a :
    1*2001 =2001
    2*2000=4000>2001
    3*1999=5997>2001
    .
    .
    .
    1001*1001=2*1001+999*1001 >2002>2001
    .
    .
    .
    1999*3=5997>2001
    2000*2=4000>2001
    2001*1 =2001
    Inmultim relatiile de mai sus :
    (1*2001)*( 2*2000)( 3*1999)**( 1001*1001)**( 1999*3)( 2000*2)( 2001*1) = (1*2*3**1001**1999*2000*2001)(2001*2000*1999**1001**3*2*1) = (1*2*3**1001**1999*2000*2001)^2 > 2001*2001*2001**2001**2001*2001*2001=2001^2001

  5. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    bedrix wrote: Frumoasa rezolvarea dl. TheodorMunteanu, sub rezerva ca metoda aplicata este la nivel de liceu.
    Sa incercam o metoda la nivelul clasei a V-a :
    1*2001 =2001
    2*2000=4000>2001
    3*1999=5997>2001
    .
    .
    .
    1001*1001=2*1001+999*1001 >2002>2001
    .
    .
    .
    1999*3=5997>2001
    2000*2=4000>2001
    2001*1 =2001
    Inmultim relatiile de mai sus :
    (1*2001)*( 2*2000)( 3*1999)**( 1001*1001)**( 1999*3)( 2000*2)( 2001*1) = (1*2*3**1001**1999*2000*2001)(2001*2000*1999**1001**3*2*1) = (1*2*3**1001**1999*2000*2001)^2 > 2001*2001*2001**2001**2001*2001*2001=2001^2001


    Mai ramane de demonstrat in mod riguros ca m*(2002-m)>2001 pentru orice m natural cuprins intre 2 si 2000.
    La nivel de liceu acest lucru se poate demonstra folosind teoria de la functia de gradul al II-lea.
    Altfel se poate merge pe ideea ca pentru doua numere strict pozitive cu suma constanta produsul lor variaza descrescator in raport cu abaterea numerelor de la valoarea medie.
    Daca avem numerele a si b strict pozitive astfel incat a+b=2002 atunci
    a=1001-u; b=1001+u si ab=1001^2-u^2 si deci valoarea minima a produsului se obtine pentru u=1000 si este egala cu 2001.

    Generalizare (n!)>n^n pentru orice n natural;n>2
    Se arata ca m(n+1-m)>n pentru orice m natural cuprins intre 2 si n-1, se inmultesc aceste inegalitati membru cu membru…

  6. Iatan

    Va Multumesc tuturor, dar eu sunt clasa a cincea trec a sasea si de unde as putea sa înteleg rezolvarile de liceu,dar oricum va apreciez efortul si iubirea pt matematica

Raspunde

Raspunde