Home/ Intrebari/Q 82032
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

CoseriuBogdan
Pe: 2013-06-08T08:55:20+03:00 In: In:

Suma de combinari (foarte grea)

Am doua sume de combinari (poza de mai jos)
M-am chinuit ceva timp cu ele, cu cleste, majorare minorare dar nu merge.Cred ca e alta metoda.

Attached files

Similare

4 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Am sa incerc eu sa o rezolv dand si motivarea necesara

    Attached files

  2. ghioknt
    profesor

    Si atunci ce ti-ai zis: sa se chinuie si altii! Ti-am gasit o pedeapsa pe masura: sa-mi citesti complicatele demonstratii pana la sfarsit!
    1). (Criteriul majorarii) M-am intrebat: pentru ce valori ale lui k are loc inegalitatea:

        \[ \begin{array}{l} k \cdot 2^n + n \ge 1\left( {k + 1} \right) \cdot 2^{n - 1} ?\,\,Ea\,\,se\,\,scrie\,\,k \cdot 2^{n - 1} \ge 2^{n - 1} - n \Leftrightarrow k \ge 1 - \frac{n}{{2^{n - 1} }},\,\,deci\,\,este\,\,ade{{\rm var}} ata\,\,\forall k \ge 1. \\ Atunci\,\,x_n = \frac{1}{n} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{C_n^k }}{{k \cdot 2^n + n}}} \le \frac{1}{n} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{C_n^k }}{{\left( {k + 1} \right) \cdot 2^{n - 1} }}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2^{n - 1} }} \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{n + 1}}} \cdot C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n + 1}} \cdot \frac{{2^{n + 1} - n - 2}}{{2^{n - 1} }} = c_n . \\ Avem\,\,0 < \,x_n \le c_n \,si\,\,\lim c_n = \lim \left( {\frac{1}{n} + \frac{1}{{n + 1}}\left( {4 - \frac{{n + 2}}{{2^{n - 1} }}} \right)} \right) = 0 + 0 \cdot \left( {4 - 0} \right) = 0.\,\,Deci\,\,\lim x_n = 0. \\ \end{array} \]

    2). (Criteriul clestelui)

        \[ x_n = \frac{1}{n} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{kC_n^k }}{{k \cdot 2^n + n}}} \le \frac{1}{n} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{kC_n^k }}{{k \cdot 2^n }}} = \frac{1}{n} + \frac{{2^n - 1}}{{2^n }} = b_n \,\,si\,\,\lim b_n = 1 \]

    .
    Nu am avut nicio inspiratie pentru o minorare simpla, dar care sa pastreze limita 1, asa ca…..
    Este destul de evident ca

        \[ \sum\limits_{k = 0}^n {f\left( k \right)} = \sum\limits_{k = 0}^n {f\left( {n - k} \right)} \]

    (aceeasi termeni, dar in ordine inversa)

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
	\begin{array}{l}
	 x_n  = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{kC_n^k }}{{k \cdot 2^n  + n}}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {n - k} \right)C_n^{n - k} }}{{\left( {n - k} \right) \cdot 2^n  + n}}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {n - k} \right)C_n^k }}{{\left( {n - k} \right) \cdot 2^n  + n}}} . \\
	 Egalitatea\,\,kC_n^k  = nC_{n - 1}^{k - 1} \,\,functioneaza\,\,pt.\,\,k]
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

    Iti urez totusi, sa gasesti o solutie mai simpla si sa ne-o spui si noua.
    Cu bime, ghioknt.

  4. CoseriuBogdan

    ce rezolvare intortocheata, ma cam chinui sa o inteleg, dar are sens ce ai scris.. oricum multumesc mult 😀

    (raspunsul e corect 😀 )

    Am incercat si eu o majorare si am vazut ca e 1, dar cu minorarea era mai greu

  5. ghioknt
    profesor

    Scopul a fost atins: sa ne chinuim reciproc ; imagineaza-ti cat m-am chinuit eu sa o gasesc!
    Satisfactia este mare insa, daca apreciezi ca solutia este corecta.
    Succe3s, ghioknt.

Raspunde

Raspunde