1. Un strat de gazon ABD si un strat cu flori ABC. m(unghiului BDA)=m(unghiului BAC)=90 grade, AD=BD=x(m), iar AB=AC.
a)Exprimati in functie de x suprafata stratului cu flori ABC.
b)Aratati ca suma suprafetelor celor 2 straturi este egala cu 1,5x la puterea a doua m patrati.
c)Pt. ce valoare reala a lui x, suprafata stratului cu flori este cu 18 m patrati mai mare decat suprafata stratului cu gazon?
d)Se considera AD=6cm. O persoana planteaza lalele la marginea BC incepand din pct. B. Cate lalele trebuie plantate, stiind ca distanta dintre ele este de 30 cm?
2. Un bloc de piatra in care s-a sapat un rezervor. Blocul este cubul ABCDA’B’C’D’ cu AB=2 m, iar rezervorul pt. apa este sub forma de piramida patrulatera regulata cu baza ABCD si varful pct. O, centrul fetei A’B’C’D’ a cubului.
a)Calculati aria totala a piramidei OABCD.
b)Cati litri de apa incap in rezervorul OABCD?
1. a. AB e ipotenuză în triunghiul ABD. Deci va fi x radical din 2. Teorema lui Pitagora. Dar AB e catetă în triunghiul ABC. Deci aria e cateta la pătrat supra 2(pentru că e egală şi cu AC). Deci aria e: (2*x^2)/2=x^2.
b. Aria lui ABD e cateta la pătrat pe 2: deci (x^2/)2. Şi Aria lui ABC taman ce o calcularăm: x^2. Deci suma lor e x^2+(x^2/)2=1,5*x^2…
c. Ai calculat aria gazonului (x^2)/2, aria flori x^2.
x^2-40=(x^2)/2. x^2=80. Deci x=2 radical din 10.
d. Află lungimea ipotenuzei triunghiului ABC. Lungimea catetei este x radical din 2. x=6. Deci lungimea catetei e… 6 radical din 2. BC^2=2*((6 radical din 2) la pătrat)=2*36*2=144. BC=12. S-ar putea să fi greşit… Dar din asta ar rezulta că nu ai decât o lalea în B. 12<30. Deşi la început… AD era în metri… dar asta nu prea schimbă cu nimic problema. Că AD tot x… rămâne, iar celelalte date tot în funcţie de x sunt exprimate.
2. a. Luăm O’ în mijlocul pătratului bază. OO’ e o dreaptă perpendiculară pe plan, cu valoarea 2 (cât e valoarea laturii). Aflăm AO’ – care e jumătate din diagonala pătratului bază… Dinagonala are valoarea (latura e 2) 2 radical din 2.
De aici putem afla: latura unui triunghi al piramidei: AO. Laturile sunt egale între ele. În triunghiul dreptunghic: AOO’. Latura e ipotenuză aici deci: AO^2=AO’^2+OO’^2=8+4=12. AO=2 radical din 3.
Ştiind lungimea laturii putem afla lungimea înălţimii în triunghiul OAB – isoscel. OO” perpendiculară pe AB, deci AO”=O”B=1. În unul din cele două triunghiuri formate… să spunem O”OA, aplicăm Pitagora:
OO”^2=OA^2-O”A^2=12-1=11. OO”=radical din 11.
Aria unui triunghi este baza ori înalţimea pe 2. Deci radical din 11 (baza AB=2, înălţimea OO”= rad 11). Şi aria laterală a piramidei este: 4 ori aria unui triunghi. Deci 4 radical din 11!
Şi aria bazei e… aria unui pătrat: deci latura la a doua: 2 la a doua este 4. Prin urmare aria totală este. 4 + 4 radical din 11.
b. Deci volumul. Aria bazei ori înălţimea pe 3. Şi faci tu calculul că e simplu. Înălţime OO’, baza ABCD.