Home/ Intrebari/Q 81733
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dana1101
Pe: 2013-05-20T14:23:04+03:00 In: In:

Inegalitate

1.Aratati ca a/(2b+6c)+b/(a+7c)+25c/(9a+8b)≥1, unde a,b,c>0.

Similare

2 raspunsuri

  1. Zeus
    veteran (III)

    Aplicam CBS :
    \frac{a}{2b+6c}+\frac{b}{a+7c}+\frac{25c}{9a+8b}\geq 1=>(a+b+5c)^2\geq a(2b+6c)+b(a+7c)+c(9a+8b).
    Desfacem parantezele si ajungem la
    a^2+b^2+25c^2\geq ab+5bc+5ca.
    Banalitatea asta iti ramane ca tema.

  2. ghioknt
    profesor

    Ai revenit cu aceasta inegalitate, de unde trag concluzia ca nu-ti este clara solutia primita de la Zeus! O sa incerc sa aduc eu putina lumina.
    Acel 25, patrat perfect, care apare la unul dintre numaratori, ma impinge sa-mi pun intrebarea: ce mi-ar sugera problema daca
    toti numaratorii ar fi patratele unor expresii; de exemplu ar putea arata asa:

        \[ \frac{{a^2 }}{{a\left( {2b + 6c} \right)}} + \frac{{b^2 }}{{b\left( {a + 7c} \right)}} + \frac{{\left( {5c} \right)^2 }}{{c\left( {9a + 8b} \right)}} \ge 1 \]

    . Scrisa asa mi s-a parut mai cunoscuta si, intr-adevar, la alta inegalitate propusa tot de tine, George Gaumont iti propune
    o solutie bazata pe o asa zisa inegalitate a lui Titu Andreescu (matematician timisorean ) care se pare ca zice:

        \[ \frac{{a^2 }}{x} + \frac{{b^2 }}{y} + \frac{{c^2 }}{z} \ge \frac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{x + y + z}} \]

    , adevarata pentru oricare 6 numere pozitive (o noua tema). Aplicata la expresia noastra, obtinem:

        \[ \begin{array}{l} E \ge \frac{{\left( {a + b + 5c} \right)^2 }}{{a\left( {2b + 6c} \right) + b\left( {a + 7c} \right) + c\left( {9a + 8b} \right)}} = E_1 .\,\,\,Ramane\,\,sa\,\,demonstram\,\,ca\,\,E_1 \ge 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( {a + b + 5c} \right)^2 \ge a\left( {2b + 6c} \right) + b\left( {a + 7c} \right) + c\left( {9a + 8b} \right) \Leftrightarrow a^2 + b^2 + 25c^2 \ge ab + 5bc + 5ca \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)^2 + \left( {b - 5c} \right)^2 + \left( {5c - a} \right)^2 \ge 0 \\ \end{array} \]

    adevarata .
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde