Home/ Intrebari/Q 81732
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dana1101
Pe: 2013-05-20T14:22:36+03:00 In: In:

Expresie

Sa se determine minimul expresiei E=x+y+(2)/(x+y)+(1)/(2xy), unde x, y>0

Similare

3 raspunsuri

  1. Zeus
    veteran (III)

    Minimul e 7/2 momentan caut o metoda de a o rezolva la nivel de cls a X-a. Rezolvarea mea depaseste cunostintele unuia de liceu!

  2. ghioknt
    profesor

    Din inegalitatea mediilor

        \[ \sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2} \Rightarrow 2xy \le \frac{{\left( {x + y} \right)^2 }}{2} \Rightarrow \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{2}{{\left( {x + y} \right)^2 }} \Rightarrow E \ge x + y + \frac{2}{{x + y}} + \frac{2}{{\left( {x + y} \right)^2 }} = E_1 \]

    .
    Pentru ca cele 2 medii sunt egale daca x=y, inseamna ca si E si E1 au valori egale pentru x=y. Daca E1 ar avea minim (nu stim inca),
    care se poate atinge pentru un x=y, atunci si E ar avea acelasi minim.

        \[ \begin{array}{l} E_1 = s + \frac{2}{s} + \frac{2}{{s^2 }};\,\,E_1 - \frac{7}{2} = s - 2 + \frac{2}{s} - 1 + \frac{2}{{s^2 }} - \frac{1}{2} = s - 2 + \frac{{2 - s}}{s} + \frac{{4 - s^2 }}{{2s^2 }} = \left( {s - 2} \right)\left( {1 - \frac{1}{s} - \frac{{s + 2}}{{2s^2 }}} \right) = \\ = \frac{{\left( {s - 2} \right)\left( {2s^2 - 3s - 2} \right)}}{{2s^2 }} = \frac{{\left( {s - 2} \right)^2 \left( {2s + 1} \right)}}{{2s^2 }} \ge 0 \\ \end{array} \]

    .
    Am demonstrat ca E1-7/2>=0 si ca egalitatea are loc daca s=x+y=2; asta inseamna ca minE1=7/2 care este atins pentru urice
    pereche (x,y) cu x+y=2. Avem E>=E1>=7/2 si in plus E=E1=7/2 pentru x=y=1. Deci minE=E(1,1)=7/2.
    Acum, o sa ma intrebi cum de m-am gandit la 7/2. Sigur ca am studiat comportarea lui E1(s) cu niscaiva derivate, ceeace nu se face
    la un exercitiu de clasa a-X-a, dar nici tu nu spui de unde iei atatea inegalitati cu care ,,terorizezi” forumurile, poate ca rezolvarile
    depasesc, fie cunostintele, fie ingeniozitatea multora dintre noi.
    Cu bine, ghioknt.

  4. Zeus
    veteran (III)

    Frumoasa rezolvare. Eu cred ca problema tb trecuta in cls 11. E o bataie de joc ptr rezolvitori in general cand o problema face astfel de transferuri. Am vazut si probleme de a 12-a puse la a 11-a dar e de asteptat acest lucru… nu ma mai mira nimic.

Raspunde

Raspunde