Aceasta problema se constitue din doua subpuncte dintre care punctul a l-am facut. Punctul a era sa se arate ca (z-a)(b-c)+(z-b)(c-a)+(z-c)(a-b)=0 oricare ar fi z, a , b , c. La punctul b mi se cere sa arat ca distantele unui punct din planul unui triunghi echilateral la varfurile acestuia pot fi lungimile laturilor unui triunghi .
Mi se cere sa utilizez la punctul b identitatea de la punctul a. Se mai da triunghiul echilateral ABC cu A de afix 1, B de afix epsilon si C de afix epsilon^2 stiind ca epsilon= cos 2pi/3+ i sin 2 pi/3 . M este punctul exterior.
Mai intai sa ne exprimam corect: nu numerele complexe au afixe, ci punctele planului au ca afixe cate un numar complex. In loc sa
spuem M are coordonatele (x,y), spunem M are afixul z si scriem M(z) unde z=x+yi.
Asadar, fie M, A, B, C punctele care au drept afixe numerele z, a, b, c; atunci distntele de la M la A, B, C sunt: MA=|z-a|, MB=|z-b|, MC=|z-c|,
iar laturile triunghiului ABC au lungimile: AB=|b-a|, BC=|c-b|, CA=|a-c|. ABC–echilateral, inseamna |b-a|=|c-b|=|a-c|.
Relatia demonstrata la punctul a) se poate scrie: (z-a)(c-b)=(z-b)(c-a)+(z-c)(a-b). Aplicam modulul in ambii membri si tinem
cont ca modulul produsului= prod. modulelor, dar modulul sumei <= suma modulelor:
|z-a||c-b|<=|z-b||c-a|+|z-c||a-b|,adica MA*BC<=MB*CA+MC*AB; se simplifica cu lungimea comuna a celor 3 laturi:
MA<=MB+MC. Analog, izoland alt termen din cei trei, putem obtine MB<=MA+MC, MC<=MA+MB, exact ce trebuie pentru
a trage concluzia ca cele trei segmente pot fi laturile unui triunghi, daca niciuna din cele 3 relatii nu este egalitate.
Este posibil ca modulul unei sume sa fie egal suma modulelor si atunci am obtine |z-a||c-b|=|z-b||c-a|+|z-c||a-b|, adica
MA*BC=MB*CA+MC*AB. Aceasta relatie este posibila numai daca cele 4 puncte sunt varfurile unui patrulater inscriptibil
cu diagonalele MA si BC (reciproca teoremei lui Ptolemeu). Enuntul complet al punctului b) ar fi:
daca un punct din planul unui triunghi echilateral nu se afla pe cercul circumscris acestuia, atunci distantele la varfuri
sunt lungimile laturilor unui triunghi; daca punctul se afla pe cercul circumscris, atunci una dintre distante este egala cu suma
celorlalte doua.
Tuturor celor care au avut rabdarea sa citeasca cele de mai sus,cu bine, ghioknt.