Home/ Intrebari/Q 81561
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dennis9091
guru (IV)
Pe: 2013-05-09T16:30:43+03:00 In: In:

Inegalitate

Fie x,y,z numere reale pozitive astfel incat x+y+z=xyz. Sa se arate ca 4(xy+yz+zx)<sau= 9 + (xyz)^2.

La rezolvare scrie fol. S=x+y si P=xy => z= S/(P-1).
E=9+ (xyz)^2 – 4(xy+yz+zx) = [S^2(P-2)^2 + (P-3)^2] / (P-1)^2 >sau=0

Poate cineva sa imi spuna daca este vreo teorie sau ceva de baza de stiut pentru folosirea metodei cu S=x+y si P=xy. Am mai intalnit’o in probleme, dar nu o stapanesc prea bine. Multumesc!

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Aici nu este vorba despre vreo teorie care dezvolta o anumita metoda, ci de mai multa atentie. Cred ca esti de acord ca daca
    reusesti sa arati ca E>=0, problema este rezolvata.

        \[ \begin{array}{l} E = 9 + (xy \cdot z)^2 - 4\left[ {xy + \left( {x + y} \right)z} \right] = 9 + \left( {P \cdot \frac{S}{{P - 1}}} \right)^2 - 4\left( {P + S \cdot \frac{S}{{P - 1}}} \right) = 9 + \frac{{P^2 S^2 }}{{\left( {P - 1} \right)^2 }} - \frac{{4\left( {P^2 - P + S^2 } \right)}}{{P - 1}} = \\ \frac{{9P^2 - 18P + 9 + P^2 S^2 - 4P^3 + 8P^2 - 4P - 4S^2 P + 4S^2 }}{{\left( {P - 1} \right)^2 }} = \frac{{P^2 S^2 - 4S^2 P + 4S^2 - 4P^3 + 17P^2 - 22P + 9}}{{\left( {P - 1} \right)^2 }} = \\ = \frac{{S^2 \left( {P^2 - 4P + 4} \right) - 4P\left( {P^2 - 4P + 4} \right) + P^2 - 6P + 9}}{{\left( {P - 1} \right)^2 }} = \frac{{\left( {P - 2} \right)^2 \left( {S^2 - 4P} \right) + \left( {P - 3} \right)^2 }}{{\left( {P - 1} \right)^2 }} \ge 0 \\ pentru\,\,ca\,\,trei\,\,paranteze\,\,sunt\,\,la\,\,patrat,\,\,iar\,\,S^2 - 4P = \left( {x + y} \right)^2 - 4xy = \left( {x - y} \right)^2 \ge 0,\,\,deci\,\,toti\,\,termenii\,\, \\ si\,\,factorii\,\,lui\,\,\,E\,\,sunt\,\,pozitiv \\ \end{array} \]

    .
    Toate aceste calcule s-au bazat pe conditia P-1 diferit de 0, caci asa trebuie sa fie un numitor. Trebuie sa studiem si ce se intampla
    daca P=xy=1. Din x+y+z=xyz reiese x+y+z=1z, adica x+y=0 si relatia de demonstrat devine:4<=9+z^2, evident adevarata.
    In speranta ca ai inceput sa intelegi si sa numeri si demonstratiile mele,
    cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde