Sa se determine ultimile doua cifre ale numarului a= 3 la puterea 29-3 la puterea 28+3 la puterea 27-…+3 la puterea a 3-3 la puterea a doua+3 la puterea 1-3 la puterea zero.
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Sa se determine ultimile doua cifre ale numarului a= 3 la puterea 29-3 la puterea 28+3 la puterea 27-…+3 la puterea a 3-3 la puterea a doua+3 la puterea 1-3 la puterea zero.
a= 3^29 – 3^28+3^27-3^26+…+3 ^3-3^2+3-1
Observam ca putem forma 15 grupe de cate 2 termeni de forma :
3^(2k+1)-3^(2k)=3*3^(2k) – 3^(2k)=2*3^(2k) , k=0 14
Avem a=2*(3^28+3^26+..+3^2+1)=2*(1+9+9^2++9^13+9^14)=2*((1+9)+(9^2)(1+9)++ (9^12)(1+9)+9^14) = 2*(1+9^2+9^4++9^12)*10 + 2*9^14 =4*5*(1+81+81^2++81^6) +2*9^14
Ultimele cifre sunt date de restul impartirii la 100=4*25
Analizam restul a:4
9^14=(M2+1)^14=M2+1 rezulta 2*9^14=M4+2 rezulta a=M4+2
Analizam restul impartirii a:25
81^p=M5+1
1+81+81^2++81^6=1+(M5+1) +(M5+1) +(M5+1) +(M5+1) +(M5+1) +(M5+1)=M5+7=M5+2
4*5*(1+81+81^2++81^6)=4*5* (M5+2)=M25+40=M25+15
2*9^14=2*(81^7)=2*( M25+6)^7=M25+12*6^6= M25+12*(36)^3= M25+12*(M25+11)^3=M25+12*11^3=M25+12*1331= M25+12*(53*25+6)=M25+72=M25+22
a=4*5*(1+81+81^2++81^6) +2*9^14= M25+15+ M25+22=M25+12
rezulta a= M4+2= M25+12=25n+12=24n+3*4+n rezulta n=M4+2=4m+2
rezulta a=25(4m+2)+12=100m+62