Home/ Intrebari/Q 79967
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

aimee
Pe: 2013-01-18T20:39:30+02:00 In: In:

olimpiada

Fie x, y, z numere naturale nenule cu proprietatea ca
18x+13y+23z=158
Aflati cea mai mare valoare posibila a sumei x+y+z
Care sunt nr x, y, z in acest caz?

Similare

6 raspunsuri

  1. aimee

    am gasit x=1, , y=9, z=1, dar este singura varianta? mai sunt si altele pt care suma lor aste mai mare?

  2. bedrix
    expert (VI)

    18x+13y+23z=5x+13x+13y+13z+10z=5*(x+2z)+13*(x+y+z)
    Notam x+2z=u si x+y+z=v rezulta 5u+13v=158 (1)
    5u+13v=5u+10v+3v=155+3=M5+3 rezulta 3v=M5+3 |:3 rezulta v=M5+1=5k+1 (2)
    v=x+y+z>=1+1+1=3 adica 5k+1>=3 rezulta k>=1
    Inlocuim (2) in (1) si avem 5u+13*5k+13=158 rezulta 5*(u+13k)=145 | :5 rezulta u+13k=29 deci k E{1,2} rezulta v E {6,11}
    Analizam v =11 ;din 5u=158-13v rezulta u=(158-13*11):5=3
    avem x+2z=3 rezulta x=1 si z=1 iar din x+y+z=11 rezulta y=9
    Analizam v =6 rezulta din 5u=158-13v ca u=(158-13*6):5=16
    Avem x+2z=16 rezulta (x,z) E{(14,1),(12,2),(10,3),(8,4),(6,5),(4,6),(2,7)} rezulta 2+7<=x+z<=14+1 iar din x+y+z=6 avem y=6-(x+z) <=6-9 rezulta y nu este numar natural (F)
    Prin urmare singura solutie este x+y+z=11

  4. aimee

    Multumesc!

  5. edy8
    maestru (V)

    aimee wrote: Fie x, y, z numere naturale nenule cu proprietatea ca
    18x+13y+23z=158
    Aflati cea mai mare valoare posibila a sumei x+y+z
    Care sunt nr x, y, z in acest caz?

    \it{\bl18x+13y+23z = 158 \Longrightarrow 13x+5x+13y+13z+10z = 158 \Longrightarrow 13(x+y+z) +5(x+2z) = 158 (1)\\\;\\(1) \Longrightarrow x+y+z < 13\\\;\\I) Daca x+y+z = 12 \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} 13\cdot12+5(x+2z) = 158 \Longrightarrow 156+5(x+2z) = 158 \Longrightarrow 5(x+2z) = 158-156 \Longrightarrow \\\;\\\Longrightarrow 5(x+2z) = 2 (imposibil) \\\;\\II) Daca x+y+z = 11 \overset{(1)}{\Longrightarrow } 13\cdot11+5(x+2z) = 158 \Longrightarrow 143+5(x+2z) = 158 \Longrightarrow 5(x+2z) = 158-143\Longrightarrow\\\;\\ \Longrightarrow 5(x+2z) = 15 |_{ :5} \Longrightarrow x+2z = 3 \Longrightarrow \{x=1, z=1 (2)\\\;\\x+3, z=0 (nu convine, pentru ca x, y, z \in \mathb{N}^*)}

    \it{\bl x+y+z = 11 \overset{(2)}{\Longrightarrow} y=9\\\;\\Deci, valoarea maxima pentru x+y+z este 11, pentru cazul:\\\;\\x=1, y=9, z=1.}

  6. bedrix
    expert (VI)

    Pentru eliminarea confuziei: subliniez ca x,y si z E N* ; prin urmare avem solutie unica (x,y,z) astfel incat x+y+z=11.

  8. edy8
    maestru (V)

    bedrix wrote: subliniez ca x,y si z E N* ; prin urmare avem solutie unica (x,y,z) astfel incat x+y+z=11.

    Asa este !
Raspunde

Raspunde