Home/ Intrebari/Q 79699
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei997
Pe: 2013-01-03T19:00:53+02:00 In: In:

Problema #2

25) Aratati ca numarul N=5^2+5^4+5^6+…+5^1992 este divizibil cu 130.

Similare

2 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    Stim ca

        \[ N = 5^2 + 5^4 + 5^6 + ... + 5^{1992} = 25\left( {1 + 5^2 + 5^4 + ... + 5^{1990} } \right) \vdots 5 \]

    Deci e destul de demonstrat ca

        \[ S_{1990} = 1 + 5^2 + ... + 5^{1990} \vdots 26 \]

        \[ \begin{array}{l} S_2 = 1 + 5^2 \vdots 26 \\ S_4 = 1 + 5^2 + 5^4 \not \vdots 26 \\ S_6 = 1 + 5^2 + 5^4 + 5^6 \vdots 26 \\ S_8 = 1 + 5^2 + 5^4 + 5^6 + 5^8 \not \vdots 26 \\ S_{10} = 1 + 5^2 + 5^4 + 5^6 + 5^8 + 5^{10} \vdots 26 \\ \vdots \\ \end{array} \]

    Se observa ca pentru orice k natural:

        \[ \begin{array}{l} S_{4k + 2} \vdots 26 \\ S_{4k + 4} \not \vdots 26 \\ \end{array} \]

    1990=4*497+2, deci este un numar de forma 4k+2. Asadar

        \[ S_{1990} = 1 + 5^2 + ... + 5^{1990} \vdots 26 \]

    .

    In concluzie, N este divizibil cu 130.

    *Exista si o alta metoda de rezolvare, cea prin inductie (cred ca ar fi mai usor de rezolvat), insa se foloseste doar din clasa a 9-a.

  2. George_Gaumont

    Buna seara,
    Ai o varianta de rezolvare.

    Edit. Aproape simultan s-a mai postat o rezolvare. Cer scuze.
    O seara buna!

    Attached files

    divizibilitate_130_188.pdf (23 KB) 

Raspunde

Raspunde