Home/ Intrebari/Q 79381
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dana1101
Pe: 2012-12-06T13:27:13+02:00 In: In:

numar natural

Sa se arate ca pentru x≥1 si n, numar natural avem x^n-(1/x^n)≥n[x-(1/x)]

Similare

5 raspunsuri

  1. Zeus
    veteran (III)

    f(n)=\frac{x^n-\frac{1}{x^n}}{n}=>f(n)\geq f(1). Avem \frac{x^n}{n}\geq x,\forall x\geq 1,n\in N. \frac{1}{x}\geq\frac{1}{n*x^n},\forall x\geq 1,n\in N=>f(n)\geq f(1)

  2. dana1101

    Zeus wrote: f(n)=\frac{x^n-\frac{1}{x^n}}{n}=>f(n)\geq f(1). Avem \frac{x^n}{n}\geq x,\forall x\geq 1,n\in N. \frac{1}{x}\geq\frac{1}{n*x^n},\forall x\geq 1,n\in N=>f(n)\geq f(1)


    Mi-ati putea, va rog, explica mai detaliat pentru ca nu prea inteleg rationamentul rezolvarii

  4. Zeus
    veteran (III)

    Mai detaliat nu pot. Poate o sa te ajute alt utilizator… eu credeam ca e clar!

  5. crisforp

    Aplocam formula a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2) *b+…………………..+
    +a* b^(n-2)+b^n;
    Inlocuim a cu x si b cu 1/x;
    Trecem totul in membrul stang dand factor comun pe (x-1/x) si observand ca
    x-1/x=(x^2 -1)/x care este pozitiv deoarece x>=1;
    Mai ramane sa aratam ca x^(n-1)+x^(n-3)+…….+1/[x^(n-3]+1/[x^(n-1)]
    >=n; (1)
    Pt. n par( de forma 2k) aplicam inegalitatea mediilor Ma>=Mg pt. cele n=2k numere strict pozitive si rezulta relatia (1);
    Pt. n impar( de forma 2k+1) sa observam ca in produsele de forma
    (x^s)*[1/(x^t)] obtinem cel putin unul( in care s=t) egal cu 1; il trecem pe 1 cu semn schimbat in membrul drept al inegalitatii si vor ramane (2k) termeni in membrul stang al inegalitatii insumati>=(2k+1)-1; pentru inegalitatea ramasa aplicam din nou inegalitatea mediilor si e gata (1);
    Succes!

  6. dana1101

    Zeus wrote: f(n)=\frac{x^n-\frac{1}{x^n}}{n}=>f(n)\geq f(1). Avem \frac{x^n}{n}\geq x,\forall x\geq 1,n\in N. \frac{1}{x}\geq\frac{1}{n*x^n},\forall x\geq 1,n\in N=>f(n)\geq f(1)


    Multumesc mult, am inteles pana la urma!

Raspunde

Raspunde