Home/ Intrebari/Q 79240
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dennis9091
guru (IV)
Pe: 2012-11-27T14:33:02+02:00 In: In:

A2

Fie a si b doua numere intregi astfel incat 4a^2-3b^2+1=7b-9a. Sa se arate ca 3a+3b+7 si 4a+4b+9 sunt patrate perfecte.

Similare

6 raspunsuri

  1. bedrix
    expert (VI)

    a^2+2a +1=7b-7a+3b^2 -3 a^2=(b-a)*(3a+3b+7) sau (a+1)^2=(b-a)*(3a+3b+7) rezulta 3a+3b+7=(a+1)^2 /(b-a) deci 3a+3b+7 este patrat perfect daca b-a este patrat perfect si este divizorul lui a+1

    Folosim Metoda reducerii la absurd
    Sa presupunem ca b-a nu este patrat parfect.
    Fie b-a=p*k^2 , unde p nu este patrat perfect , ( p > 1) iar k>=1
    adica b=a+p*k^2 ; avem a^2+2a +1= p*k^2 *(3a+3*(a+p*k^2)+7)=6apk^2 +3(p^2)(k^4)+7pk^2 sau a^2 – 2(3pk^2 -1)*a +(3pk^2 -1)^2 – (3pk^2 -1)^2 +1=3(p^2)(k^4)+7pk^2 sau
    (a-3pk^2 +1)^2=3(p^2)(k^4)+7pk^2 + (3pk^2 -1)^2 -1
    3(p^2)(k^4)+7pk^2 + (3pk^2 -1)^2 -1=12(p^2)(k^4)+pk^2 = (p*k^2)*((12k^2)*p + 1)

    Adica (a-3pk^2 +1)^2 = (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) , contradictie deoarece
    (12k^2)*p + 1 este un numar care da restul 1 la impartirea cu p deci (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) nu este multiplu de p^2 rezulta (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) nu este patrat perfect iar (a-3pk^2 +1)^2 este patrat perfect. [q.e.d.]

    Nota: Observam ca pentru p=1, k^2=4 avem 12*4+1=49=7^2 rezulta (a-3k^2 +1)^2=(a-11)^2=(2*7)^2 rezulta a=25 iar b=25+4=29
    Avem 4*25^2 -3*29^1+1=-22 ; 7*29-9*25=-22
    3a+3b+7=3*25+3*29 +7=169=13^2

  2. Minecraft
    maestru (V)

    [quote=bedrix]a^2+2a +1=7b-7a+3b^2 -3 a^2=(b-a)*(3a+3b+7) sau (a+1)^2=(b-a)*(3a+3b+7)

    Gresesc eu ?!

        \[ 4a^2 - 3b^2 + 1 = 7b - 9a \Leftrightarrow 4a^2 + 9a + 1 = 3b^2 + 7b \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 = 3b^2 + 7b - 3a^2 - 7a \Leftrightarrow (a + 1)^2 = 3b^2 - 3a^2 + 7b - 7a \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a + 7 - 7) \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a) \]

  4. edy8
    maestru (V)

    Minecraft wrote: [quote=bedrix]a^2+2a +1=7b-7a+3b^2 -3 a^2=(b-a)*(3a+3b+7) sau (a+1)^2=(b-a)*(3a+3b+7)

    Gresesc eu ?!

        \[ (a + 1)^2 = 3b^2 - 3a^2 + 7b - 7a \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a + 7 - 7) \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a) \]

    evident…

    Errare humanum est, peseverare…

  5. Minecraft
    maestru (V)

    edy8 wrote: [quote=Minecraft][quote=bedrix]a^2+2a +1=7b-7a+3b^2 -3 a^2=(b-a)*(3a+3b+7) sau (a+1)^2=(b-a)*(3a+3b+7)

    Gresesc eu ?!

        \[ (a + 1)^2 = 3b^2 - 3a^2 + 7b - 7a \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a + 7 - 7) \Leftrightarrow (a + 1)^2 = (b - a)(3b - 3a) \]

    evident…

    Errare humanum est, peseverare…
    …

        \[\begin{array}{l} Sublata{\rm{ }}causa,{\rm{ }}tollitur{\rm{ }}effectus...\\ {(a + 1)^2} = 3{b^2} - 3{a^2} + 7b - 7a = 3\underbrace {({b^2} - {a^2})}_{} + 7(b - a) = 3\underbrace {(b - a)(b + a)}_{} + 7(b - a) = (b - a)\left[ {3(b + a) + 7} \right] = (b - a)\left( {3b + 3a + 7} \right) \end{array}\]

  6. diamondminer

    bedrix wrote: a^2+2a +1=7b-7a+3b^2 -3 a^2=(b-a)*(3a+3b+7) sau (a+1)^2=(b-a)*(3a+3b+7) rezulta 3a+3b+7=(a+1)^2 /(b-a) deci 3a+3b+7 este patrat perfect daca b-a este patrat perfect si este divizorul lui a+1

    Folosim Metoda reducerii la absurd
    Sa presupunem ca b-a nu este patrat parfect.
    Fie b-a=p*k^2 , unde p nu este patrat perfect , ( p > 1) iar k>=1
    adica b=a+p*k^2 ; avem a^2+2a +1= p*k^2 *(3a+3*(a+p*k^2)+7)=6apk^2 +3(p^2)(k^4)+7pk^2 sau a^2 – 2(3pk^2 -1)*a +(3pk^2 -1)^2 – (3pk^2 -1)^2 +1=3(p^2)(k^4)+7pk^2 sau
    (a-3pk^2 +1)^2=3(p^2)(k^4)+7pk^2 + (3pk^2 -1)^2 -1
    3(p^2)(k^4)+7pk^2 + (3pk^2 -1)^2 -1=12(p^2)(k^4)+pk^2 = (p*k^2)*((12k^2)*p + 1)

    Adica (a-3pk^2 +1)^2 = (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) , contradictie deoarece
    (12k^2)*p + 1 este un numar care da restul 1 la impartirea cu p deci (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) nu este multiplu de p^2 rezulta (p*k^2)*((12k^2)*p + 1) nu este patrat perfect iar (a-3pk^2 +1)^2 este patrat perfect. [q.e.d.]

    Nota: Observam ca pentru p=1, k^2=4 avem 12*4+1=49=7^2 rezulta (a-3k^2 +1)^2=(a-11)^2=(2*7)^2 rezulta a=25 iar b=25+4=29
    Avem 4*25^2 -3*29^1+1=-22 ; 7*29-9*25=-22
    3a+3b+7=3*25+3*29 +7=169=13^2

        \[\begin{array}{l} {\rm{Fie }}a{\rm{ si }}b{\rm{ doua numere intregi asfel incat }}4{a^2} - 3{b^2} + 1 = 7b - 9a.\\ {\rm{Sa se arate ca numerele }}3a + 3b + 7{\rm{ si }}4a + 4b + 9{\rm{ sunt patrate perfecte}}{\rm{.}}\\ {\rm{Solutie] \Leftrightarrow {(a + 1)^2} = (b - a)\left( {3b + 3a + 7} \right) \Rightarrow \left( {3b + 3a + 7} \right) = \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{{(b - a)}}\\ \Rightarrow {\rm{ numarul }}\underbrace {\left( {3b + 3a + 7} \right)}_{p.p.}{\rm{ este p}}{\rm{.p}}{\rm{. daca si numarul }}\underbrace {\frac{{{{(a + 1)}^2}}}{{(b - a)}}}_{p.p.}{\rm{ este p}}{\rm{.p}}{\rm{. Dar numarul }}\underbrace {\frac{{{{(a + 1)}^2}}}{{(b - a)}}}_{p.p.}{\rm{ este p}}{\rm{.p}}{\rm{. daca si numitorul }}(b - a){\rm{ este p}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\\ {\rm{Folosim }}Metoda{\rm{ }}reducerii{\rm{ }}la{\rm{ }}absurd\\ {\rm{Sa presupunem ca }}b - a{\rm{ nu este patrat perfect}}{\rm{.}}\\ {\rm{Fie }}b - a = p*{k^2}{\rm{, unde }}p \ne {\rm{p}}{\rm{.p}}{\rm{. }}{\rm{, }}(p > 1){\rm{ iar }}k \ge 1\\ {\rm{Daca }}b - a = p*{k^2} \Rightarrow {\rm{ }}b = a + p*{k^2}\\ {\rm{Inlocuim }}b{\rm{ in }}{(a + 1)^2} = (b - a)\left( {3b + 3a + 7} \right)\\ {a^2} + 2a + 1 = \left( {\underbrace {a + p*{k^2}}_b - a} \right)\left( {3\underbrace {(a + p*{k^2})}_b + 3a + 7} \right)\\ {a^2} + 2a + 1 = \left( {p{k^2}} \right)\left( {3a + 3p{k^2} + 3a + 7} \right)\\ {a^2} + 2a + 1 = 3ap{k^2} + 3{p^2}{k^4} + 3ap{k^2} + 7p{k^2}\\ {a^2} + 2a + 1 = 6ap{k^2} + 3{p^2}{k^4} + 7p{k^2}\\ {a^2} + 2a - 6ap{k^2} + 2 - 1 = 3{p^2}{k^4} + 7p{k^2}\\ {a^2} + 2(a - 3ap{k^2} + 1) - 1 = 3{p^2}{k^4} + 7p{k^2}\\ {\rm{Bedrix}}{\rm{, de aici m - ai pierdut cu demonstratia!! Poti}}{\rm{, te rog}}{\rm{, sa folosesti Mathtype?}}\\ {a^2} + 2\left[ {a(1 - 3p{k^2}) + 1} \right] - 1 = 3{p^2}{k^4} + 7p{k^2} \end{array}\]

  8. Minecraft
    maestru (V)

    dennis9091 wrote: Fie a si b doua numere intregi astfel incat 4a^2-3b^2+1=7b-9a. Sa se arate ca 3a+3b+7 si 4a+4b+9 sunt patrate perfecte.

    Am gasit in cartea: Patrate si cuburi perfecte cu numere intregi, a regretatului profesor Cucurezeanu, o solutie la o problema „similara” cu cea propusa de Dennis:

        \[\begin{array}{l} {\rm{Fie }}a{\rm{ si }}b{\rm{ doua numere intregi astfel incat }}4{a^2} - 3{b^2} + 1 = 7b - 9a.{\rm{ }}\\ {\rm{Sa se arate ca numerele }}3a + 3b + 7{\rm{ si }}4a + 4b + 9{\rm{ sunt patrate perfecte}}.\\ - - - - - - - - - - - - - - \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ {\rm{Daca numerele naturale }}a{\rm{ si }}b{\rm{ satisfac }}2{a^2} + a = 3{b^2} + b,{\rm{ atunci }}2a + 2b + 1{\rm{ si }}3a + 3b + 1{\rm{ sunt patrate perfecte}}{\rm{.}}\\ {\rm{(Olimpiada Matematica Polonia}}{\rm{, 1964 - '65)}}\\ \underline {Solutie} \\ {\rm{Din }}2{a^2} + a = 3{b^2} + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = a - b + 3{a^2} - 3{b^2} = (a - b)(3a + 3b + 1)\\ {b^2} = a - b + 2{a^2} - 2{b^2} = (a - b)(2a + 2b + 1) \end{array} \right.\\ \\ {\rm{Cum }}(2a + 2b + 1){\rm{ si }}(3a + 3b + 1){\rm{ sunt prime intre ele }} \Rightarrow (a - b) = ({a^2},{b^2}) = {(a,b)^2}\\ {\rm{Deci numerele }}2a + 2b + 1 = {m^2}{\rm{ si }}3a + 3b + 1 = {n^2}{\rm{ trebuie sa fie patrate perfecte}}{\rm{.}} \end{array}\]

Raspunde

Raspunde