Home/ Intrebari/Q 78704
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

diamondminer
Pe: 2012-11-01T17:24:00+02:00 In: In:

Problema

Aratati ca suma inverselor a 3 numere consecutive se poate scrie sub forma de fractie periodica mixta.

Similare

5 raspunsuri

  1. edy8
    maestru (V)

    diamondminer wrote: Aratati ca suma inverselor a 3 numere consecutive se poate scrie sub forma de fractie periodica mixta.

    Fracţia ordinară ireductibilă, al cărei numitor are,

    pe lângă alţi factori,

    cel puţin unul dintre factorii 2 şi 5,

    se transformă în fracţie zecimală periodică mixtă

  2. diamondminer

    Aratati ca suma inverselor a trei numere naturale consecutive nenule se transforma in fractie periodica mixta.

    Am umat indicatia lui Edy dar nu stiu cum sa finalizez ca redactare!!!

    Trebuie sa inlocuiesc pe a cu 2x (a par) si cu 2x+1 (a impar)?

        \[\begin{array}{l} {\rm{ }}\\ \\ \\ {\rm{Fractia ordinara }}\frac{a}{b}{\rm{ ireductibila}}{\rm{,al carei numitor are numai factori primi diferiti de 2 si de 5}}{\rm{, se transforma intr - o fractie zecimala periodica simpla}}{\rm{, }}\\ {\rm{perioada avand cel mult }}b - 1{\rm{ cifre}}{\rm{.}}\\ {\rm{.}}\\ {\rm{Exemple}}];\underbrace {\frac{{101}}{3}{\rm{ = 33}}{\rm{,(6) = }}\frac{{336 - 33}}{9}}_{simpla}si\underbrace {\frac{{101}}{{3*5}}{\rm{ = 6}}{\rm{,7(3) = }}\frac{{673 - 67}}{{90}}}_{mixta}{\rm{ ;}}\\ {\rm{6}}{\rm{,7(68) = }}\frac{{6768 - 67}}{{990}} = \frac{{6701}}{{990}}\\ .\\ {\rm{Se observa ca fractiile zecimale periodice simple si mixte pot fi scrise si sub forma:}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\overline {\underbrace {abc...n}_q,(p)} - q}}{{M9}} \Leftrightarrow \frac{{\overline {\underbrace {abc...n}_q,(p)} - q}}{{3k}}\\ .\\ .\\ \frac{{\overline {\underbrace {abc...n,xy...m}_q(p)} - q}}{{M9}} \Leftrightarrow \frac{{\overline {\underbrace {abc...n,xy...m}_q(p)} - q}}{{3k}} \end{array} \right.\\ .\\ S = \frac{1}{{(a - 1)}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{{(a + 1)}}{\rm{ unde }}a \in {\rm{N*}}\\ {\rm{.}}\\ {\rm{Numitorul comun este: (}}{a^3} - a) = a({a^2} - 1) \Leftrightarrow a({a^2} - {1^2}) = a(a - 1)(a + 1) = 3k\\ .\\ \Rightarrow S = {}^{\left. {{a^2} + a} \right)}\frac{1}{{(a - 1)}} + {}^{\left. {{a^2} - {1^2}} \right)}\frac{1}{a} + {}^{\left. {{a^2} - a} \right)}\frac{1}{{(a + 1)}} = \frac{{{a^2} + a + {a^2} - 1 + {a^2} - a}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} = \frac{{3{a^2} - 1}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} = \frac{{3{a^2} - 1}}{{a({a^2} - 1)}}\\ .\\ a \in {\rm{N* si }}\frac{{3{a^2} - 1}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} \in {\rm{N*}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} (3{a^2} - 1) \vdots {\rm{(}}{a^3} - a) \Rightarrow (3{a^2} - 1) \vdots 3k \Rightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} \Leftrightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{{3k}} \Rightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{k}{\rm{ = 3}}\\ (3{a^2} - 1) \vdots {\rm{(}}{a^3} - a) \Rightarrow (3{a^2} - 1) \vdots \underbrace {(a - 1)a}_{2m}(a + 1) \Rightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} \Leftrightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{{2\underbrace {m(a + 1)}_n}} \Leftrightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{{2n}} \Rightarrow \frac{{3{a^2} - 1}}{n}{\rm{ = 2}} \end{array} \right. \end{array}\]

  4. edy8
    maestru (V)

    diamondminer wrote: Aratati ca suma inverselor a 3 numere consecutive se poate scrie sub forma de fractie periodica mixta.

    Luam trei numere naturale consecutive n, n+1, n+2.

    Inversele lor sunt: \it{\Large\bl \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}}

    Pentru a aduna cele trei fractii, trebuie sa le aducem la un numitor comun.

    Un numitor comun al acestor trei fractii este \it{\Large\bl n(n+1)(n+2).}

    Produsul a trei numere consecutive este divizibil cu 2 si cu 3.

    Deci, fractia suma va avea la numitor pe 2, pe langa alti factori (diferiti de 2 si 5).

  5. diamondminer

    edy8 wrote: [quote=diamondminer]Aratati ca suma inverselor a 3 numere consecutive se poate scrie sub forma de fractie periodica mixta.

    Luam trei numere naturale consecutive n, n+1, n+2.

    Inversele lor sunt: \it{\Large\bl \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}}

    Pentru a aduna cele trei fractii, trebuie sa le aducem la un numitor comun.

    Un numitor comun al acestor trei fractii este \it{\Large\bl n(n+1)(n+2).}

    Produsul a trei numere consecutive este divizibil cu 2 si cu 3.

    Deci, fractia suma va avea la numitor pe 2, pe langa alti factori (diferiti de 2 si 5).

    E corect ce spui tu dar fractia ar trebui sa fie, mai intai – ireductibila, apoi sa aratam ca numitorul este un produs de forma 2k. Aici aveam eu nedumeriri si am incercat o continuare:

        \[\begin{array}{l} a \in {\rm{N* si }}\frac{{3{a^2} - 1}}{{{\rm{(}}{a^3} - a)}} \in {\rm{N*}} \Rightarrow {\rm{(}}{a^3} - a)\left| {(3{a^2} - 1)} \right. \Rightarrow \left. {\left\{ \begin{array}{l} {\rm{(}}{a^3} - a)\left| {{\rm{(}}{a^3} - a)} \right.\\ {\rm{(}}{a^3} - a)\left| {\left| {{\rm{3(}}{a^3} - a)} \right. = 3{a^3} - 3a} \right. \end{array} \right.} \right\} \Rightarrow {\rm{(}}{a^3} - a)\left| {3{a^3} - 3a - {\rm{(}}{a^3} - a)} \right. = 3{a^3} - 3a - {a^3} + a = 2{a^3} - 2a = 2\underbrace {{\rm{(}}{a^3} - a)}_{3k} \Rightarrow {\rm{(}}{a^3} - a)\left| {2*3k \Rightarrow } \right.{\rm{(}}{a^3} - a) = 2*3k\\ \Rightarrow S = \frac{1}{{(a - 1)}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{{(a + 1)}}{\rm{ are la numitor}}{\rm{, pe lang alti factori}}{\rm{, cel putin unul dintre factorii 2 si 5}}{\rm{.}} \end{array}\]

  6. diamondminer

    Stiu ca sunt pisalog dar as vrea sa ma lamureasca cineva cu o generalizare! 

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[\begin{array}{l}
	{\rm{Am ajuns la]
	
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.
Raspunde

Raspunde