Home/ Intrebari/Q 78625
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

eagleking95
Pe: 2012-10-28T07:16:04+02:00 In: In:

Limita

Cum se poate arata ca

lim suma de la k la 1 la n din ln(1+1/(2k-1)) – ln(1+1/2k) = ln PI/2

Similare

5 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    Un inceput ar putea fi asta:

        \[ \begin{array}{l} {l = \lim }\limits_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{1}{{2k - 1}}} \right) - \ln \left( {1 + \frac{1}{{2k}}} \right) = \ln \frac{\pi }{2}} \\ l = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \frac{{\left( {1 + \frac{1}{{2k - 1}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{1}{{2k}}} \right)}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \frac{{\frac{{2k}}{{2k - 1}}}}{{\frac{{2k + 1}}{{2k}}}} = } \\ = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {\frac{{2k}}{{2k - 1}} \cdot \frac{{2k}}{{2k + 1}}} \right)} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {\frac{{4k^2 }}{{4k^2 - 1}}} \right) = } = \\ {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{4k^2 }}{{4k^2 - 1}}} } \right) \\ \end{array} \]

    doar daca am interpretat corect exercitiul

  2. eagleking95

    Da, ai interpretat bine.

    Am reusit sa il rezolv folosind dezvoltarea lui sinx intr-un produs cu numar infinit de termeni.

    sinx = x * produs de la k=1 la infinit din ( 1 – ( x^2 / (k^2 * PI^2) ) )

    pentru x = PI / 2 se obtine opusul limitei din exercitiu. Multumesc oricum?

    PS : cum pot sa scrie si eu ca tine simboluri matematice ?

  4. xor_NTG
    maestru (V)

    Vezi ca scrie pe site. E o sectiune numita „Cum puteti scrie simboluri matematice” sau ceva asemanator. Descarci programul texaide in care poti scrie cu simboluri matematice iar apoi copiezi continutul pe forum, intre tagurile [tex]

  5. xor_NTG
    maestru (V)

    Daca reusesti sa scrii cu simboluri, te rog sa pui rezolvarea aici, poate sunt si altii interesati.

    Multumesc.

  6. eagleking95

    Dupa cum a scris xor_NTG, dupa prelucrare ajungem la

        \[ l = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln (\frac{{4k^2 }}{{4k^2 - 1}})} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {( - \ln (\frac{{4k^2 - 1}}{{4k^2 }})) = } {\lim }\limits_{n \to \infty } ( - \sum\limits_{k = 1}^n {\ln (1 - \frac{1}{{4k^2 }})) = - {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \prod\limits_{k = 1}^n {(1 - \frac{1}{{4k^2 }})} } \]

    De asemenea stim ca :

        \[ \sin x = x\prod\limits_{k = 1}^\infty {(1 - \frac{{x^2 }}{{k^2 \pi ^2 }})} \Rightarrow \limits_{x! = 0} \frac{{\sin x}}{x} = \prod\limits_{k = 1}^\infty {(1 - \frac{{x^2 }}{{k^2 \pi ^2 }})} \]

        \[ {\rm Pentru x = }\frac{\pi }{{\rm 2}} \Rightarrow \frac{{\sin \frac{\pi }{{\rm 2}}}}{{\frac{\pi }{{\rm 2}}}} = \prod\limits_{k = 1}^\infty {(1 - \frac{{\frac{{\pi ^2 }}{4}}}{{k^2 \pi ^2 }})} \Rightarrow \frac{2}{\pi } = \prod\limits_{k = 1}^\infty {(1 - \frac{1}{{4k^2 }})} \Rightarrow l = - \ln \frac{2}{\pi } \Rightarrow l = \ln \frac{\pi }{{\rm 2}} \]

Raspunde

Raspunde