Home/ Intrebari/Q 78289
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Tavi2000
Pe: 2012-10-10T11:20:06+03:00 In: In:

Divizibilitate cu 105

Aratati ca:

    \[(2 + {2^2} + {2^3} + ........ + {2^{84}}) \vdots {\rm{105}}\]

Am incercat sa grupez termenii cite 4, cite 5, cite… astfel incit sa pot sa obtin ceva egal cu un produs de 105 (ca, similar, aici: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=20387) dar…nimic!
Orice ajutor e binevenit. Multumesc!

Similare

10 raspunsuri

  1. diamondminer

    Tavi2000 wrote: Aratati ca:

        \[(2 + {2^2} + {2^3} + ........ + {2^{84}}) \vdots {\rm{105}}\]

    Am incercat sa grupez termenii cite 4, cite 5, cite… astfel incit sa pot sa obtin ceva egal cu un produs de 105 (ca, similar, aici: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=20387) dar…nimic!
    Orice ajutor e binevenit. Multumesc!

    Sigur nu exista si un 2 la 0 pt ca suma ta este un nr par care nu se poate divide cu divizorii lui 105=3*5*7 ????

  2. Tavi2000

    Multumesc de raspuns diamond.
    Acum am verificat enuntul postat si l-am copiat corect din manual.
    Primul 2 e 2 „chior” (ma rog, la puterea 1 daca vreti).

    Si-acuma, ca mi-ai raspuns, … da, ar fi trebuit sa-mi sara-n ochi ca suma rezultata e un numar par care…

    Daca are vreo importanta/relevanta exercitiul este luat din „Culegere de probleme de matematica pentru clasa a VI-a” (a.k.a. „Pui”) de Manea Ioana Monalisa si Neagoe Cristina, Bucuresti, Ed. Logos Jr., 2012.

    EDIT:
    Cu toate ca, n-are nici-o importanta ca suma e un numar par!!!
    Daca, prin absurd, suma ar face, sa zicem, 840, ea se divide cu 105, nu?
    Deci?

  4. diamondminer

        \[\left. \begin{array}{l} {2^2} + {2^4} + {2^5} + {2^7} + {2^9} + {2^{11}} = 2730\\ 105*26 = 2730 \end{array} \right| \Rightarrow \underbrace {{2^2} + {2^4} + {2^5} + {2^7} + {2^9} + {2^{11}}}_{2730} + {2^{}} + {2^3} + {2^6} + {2^8} + {2^{10}} + {2^{12}} + {2^{13}} + {2^{14}} + ... + {2^{84}}\]

  5. ali
    maestru (V)

    Enervant:
    \begin{array}{l} S = 2 + {2^2} + ... + {2^{84}} = 2\left( {1 + 2 + ... + {2^{11}}} \right) + {2^{13}}\left( {1 + 2 + ... + {2^{11}}} \right) + {2^{25}}\left( {1 + 2 + ... + {2^{11}}} \right) + ...\\ + {2^{73}}\left( {1 + 2 + ... + {2^{11}}} \right) = \left( {1 + 2 + ... + {2^{11}}} \right)\left( {2 + {2^{13}} + {2^{25}} + ... + {2^{73}}} \right)\\ 1 + 2 + ... + {2^{11}} = {2^{12}} - 1 = 4095 = 39 \times 105 \Rightarrow 1 + 2 + ... + {2^{11}} \vdots 105 \Rightarrow S \vdots 105 \end{array}
    Evident puterea lui 2 am ghicit-o ….

  6. Tavi2000

    Multumesc diamond si ali pentru solutie!
    Daca va spun una: JUR ca m-am oprit cu gruparea termenilor pin’ la

        \[{2^{10}}\]

    !!!
    Am zis ca deja e prea de tot si…
    Multumesc.

    Nu pot sa nu inchei pina nu remarc, din nou si a n-a oara!!!, ca deja au luat-o rau de tot razna daca la clasa a VI-a au exercitii de genul acesta! Si vorbim de „regular” = manual, nu de Gazeta matematica sau olimpiade sau alte virfuri. In fine…

  8. ali
    maestru (V)
    [list]
  10. Rezolvarea lui diamondminer nu este completa … nu reiese din cele scrie ca neapărat S divide cu 105 ….
  12. Lucrez la o rezolvare care nu presupune sa calculam 2^12 … adică o rezolvarea cu un rationament mult mai simplu ( nu avem nevoie de calculator de mana) dar mai lunga 🙁
  • Tavi2000

    Proaspata (rezolvarea din clasa):

    Pentru ca

        \[2 + {2^2} + {2^3} + ....... + {2^{84}} \vdots 105\]

    ,
    suma trebuie sa se divida simultan cu 3,5 si 7

        \[{\rm{(}}3x5x7 = 105{\rm{)}}\]

    . (sau cum se va vedea ulterior cu 3×5=15 si 7)
    a) se grupeaza cite 3 termeni:

        \[\begin{array}{l} \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ..... + \left( {{2^{82}} + {2^{83}} + {2^{84}}} \right) = \\ 2\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ..... + {2^{82}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) = \\ 2x7 + {2^4}x7 + ..... + {2^{82}}x7 = \\ 7\left( {2 + {2^4} + ... + {2^{82}}} \right) \vdots 7 \end{array}\]

    b) se grupeaza cite 4 termeni:

        \[\begin{array}{l} \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + .... + \left( {{2^{81}} + {2^{82}} + {2^{83}} + {2^{84}}} \right) = \\ 2\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + .... + {2^{81}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) = \\ 15x\left( {2 + {{...2}^{81}}} \right) \vdots 15 \end{array}\]

        \[a{\rm{ }}si{\rm{ }}b{\rm{ }} \Rightarrow 2 + {2^2} + {2^3} + ....... + {2^{84}} \vdots 105\]

    Gata! 🙁
    Super tare!

  • ali
    maestru (V)

    Da … la asta m-am referit … însă .. la scoală va învată ceva care nu este tocmai 100% corect:
    \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a \vdots b\\ a \vdots c \end{array} \right. \Rightarrow a \vdots \left( {b \times c} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 20\\ b = 10\\ c = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 20 \vdots 10\\ 20 \vdots 4 \end{array} \right. \Rightarrow 20 \vdots 40 \to {\rm{fals}} \end{array}
    Eu lucrez …. la o demonstratie anume …. o voi publica dacă voi ajunge la vre-un rezultat .

  • Tavi2000

    Adevarat ce spui!
    Cred ca cel mai corect e:

        \[\begin{array}{l} a){\rm{ }}.....\\ b){\rm{ }}.....\\ 15x\left( {2 + ... + {2^{81}}} \right) \vdots 3\\ si\\ 15x\left( {2 + ... + {2^{81}}} \right) \vdots 5\\ a{\rm{ }}si{\rm{ }}b \Rightarrow 2 + {2^2} + ... + {2^{84}} \vdots 15 \end{array}\]

  • Integrator
    maestru (V)

    Tavi2000 wrote: Aratati ca:

        \[(2 + {2^2} + {2^3} + ........ + {2^{84}}) \vdots {\rm{105}}\]

    Am incercat sa grupez termenii cite 4, cite 5, cite… astfel incit sa pot sa obtin ceva egal cu un produs de 105 (ca, similar, aici: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=20387) dar…nimic!
    Orice ajutor e binevenit. Multumesc!

    Se observa ca acea suma are 84 de termeni si cum 84=3 \cdot 28=4 \cdot 21 , iar 105=7 \cdot 15 atunci inseamna ca putem grupa termenii cate 3 sau cate 4 obtinand un numar intreg de grupe in fiecare caz.Se observa ca acea suma se mai scrie 2 \cdot (1+2+4)+2^4 \cdot (1+2+4)+.......+2^{82} \cdot (1+2+4)=7 \cdot u ceea ce inseamna ca acea suma se divide cu 7.Grupand similar cate patru termeni se observa imediat ca acea suma se divide si cu 15 si deci acea suma se divide cu 105.

    • Raspunde

    Raspunde