Sa se arate ca numerele x,y,z reale nenule sunt in progresie deometrica daca si numai daca:
a)xyz(x^3+y^3+z^3)=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3;
b)xyz(x+y+z)^3=(xy+yz+zx)^3
AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Sa se arate ca numerele x,y,z reale nenule sunt in progresie deometrica daca si numai daca:
a)xyz(x^3+y^3+z^3)=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3;
b)xyz(x+y+z)^3=(xy+yz+zx)^3
1]. „Daca si numai daca x , y , z sunt in progresie geometrica atunci;
x.y.z.(x^3 + y^3 + z^3)=(x.y)^3 + (y.z)^3 + (z.x)^3 , sau;
E=(x^4.y.z – x^3.y^3) + (x.y^4.z – z^3.x^3) + (x.y.z^4 – y^3 .z^3)=0 , sau;
E=x^3.y.(x.z – y^2) + x.y.(y^2 + x.z).(y^2 – x.z) + z^3.y.(x.z-y^2)=0 , Se vede ca expresia E are factor pe (x.z – y^2) . Cum aceasta expresie este simetrica in x , y , si z , rezulta ca va avea ca factori si pe ; (x.y – z^2), respectiv (y.z – x^2). Gradul expresiei este 6 si cum fiecare factor are gradul 2 va rezulta ca expresia se poate scrie si;
E=k.(x.y – z^2).(y.z-x^2).(z.x-y^2)=0, unde k este o constanta diferita de zero
Deci ; ultima forma a expresiei E , este adevarata numai daca ;x.y=z^2 , sau; y.z=x^2 sau ; z.x=y^2 , deci ; x , y , z sunt in p.g.,indiferent de ordinea lor.
Daca x , y , z sunt in p.g., indiferent de ordinea lor , expresia E, este verificata de la sine,
2]. Relatia ; x.y.z.(x+y+z)^3=(x.y+y.z+z.x)^3 este adevarata ,daca si numai daca, x , y , z sunt in p.g. sau ;
E(x,y,z)=x.y.z.(x+y+z)^3 – (x.y+y.z+z.x)^3=0.
Reamintim teorema lui Bezou ;”O functie f ; R -> R si f(x) dat , are proprietatea ca ; f(a)=0 , pentru „a” in R , atunci , f(x) are ca factor pe
(x-a) si reciproc”.
Se vede ca E(x,y,z) este simetrica in x , y , z si are gradul 6. Sa aratam ca expresia este divizibila cu (x.y – z^2). Vom face pe x.y=z^2 in E(x,y,z). Astfel expresia E(x,y,z) devine; E(x,y,z)=x.y.z^4.(x/z+y/z +1)^3 – -( z^6).(1+x/z+y/z)^3=(z^6).(x/z+y/z+1)^3-(z^6).(1+x/z+y/z)^3=0. Rezulta ca E(x,y,z) are ca factor pe (xy-z^2)si fiind simetrica in x,y,z , va avea ca factori si pe ; (y.z-x^2) si (z.x-y^2). Deci;
E(x,y,z)=k.(x.y-z^2).(y.z-x^2).(z.x-y^2) de unde vom deduce aceleasi concluzii ca la problema 1]. . Intrebari?