Home/ Intrebari/Q 77260
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2012-06-17T09:22:39+03:00 In: In:

Radical + logaritm

Am urmatorul exercitiu:

    \[ E\left( x \right) = \sqrt {\log _a \sqrt[4]{{ax}} + \log _x \sqrt[4]{{ax}}} + \sqrt {\log _a \sqrt[4]{{\frac{x}{a}}} + \log _x \sqrt[4]{{\frac{a}{x}}}} = a \]

Se pune problema exprimarii lui x in functie de a.
Am aplicat proprietatile logarimtului si ale radicalului astfel:

    \[ \begin{array}{l} E\left( x \right) = \sqrt {\log _a \sqrt[4]{{ax}} + \log _x \sqrt[4]{{ax}}} + \sqrt {\log _a \sqrt[4]{{\frac{x}{a}}} + \log _x \sqrt[4]{{\frac{a}{x}}}} = a,\,x \in \left( {1,\infty } \right) \\ E\left( x \right) = \sqrt {\frac{1}{4}\log _a \left( {ax} \right) + \frac{1}{4}\log _x \left( {ax} \right)} + \sqrt {\frac{1}{4}\log _a \left( {\frac{x}{a}} \right) + \frac{1}{4}\log _x \left( {\frac{a}{x}} \right)} = a \\ E\left( x \right) = \sqrt {\frac{{\log _a a + \log _a x + \log _x a + \log _x x}}{4}} + \sqrt {\frac{{\log _a x - \log _a a + \log _x a - \log _x x}}{4}} = a \\ E\left( x \right) = \sqrt {\frac{{\log _a x + \frac{1}{{\log _a x}} + 2}}{4}} + \sqrt {\frac{{\log _a x + \frac{1}{{\log _a x}} - 2}}{4}} = a \\ \log _a x = y \Rightarrow E\left( x \right) = \sqrt {\frac{{y^2 + 2y + 1}}{{4y}}} + \sqrt {\frac{{y^2 - 2y + 1}}{{4y}}} \Rightarrow \sqrt {\frac{{\left( {y + 1} \right)^2 }}{{4y}}} + \sqrt {\frac{{\left( {y - 1} \right)^2 }}{{4y}}} = a \\ \Rightarrow E\left( x \right) = \frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{2\sqrt y }} + \frac{{\left| {y - 1} \right|}}{{2\sqrt y }} = a \Rightarrow \frac{{\left| {y + 1} \right| + \left| {y - 1} \right|}}{{2\sqrt y }} = a \Rightarrow \left| {y + 1} \right| + \left| {y - 1} \right| = 2a\sqrt y \Rightarrow \\ \Rightarrow E\left( x \right) = \left| {\log _a x + 1} \right| + \left| {\log _a x - 1} \right| = 2a\sqrt {\log _a x} \\ \\ \end{array} \]

Am verificat calculul de cateva ori, deci nu cred ca ar putea fi ceva gresit. M-am blocat aici pentru ca nu stiu cum sa explicitez modulele. Ma incurca acei logaritmi. Am incercat sa iau pe cazuri adica a sa fie in (0,1) dar nu ajung nicaieri.

Multumesc.

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Din conditiile de existenta ale logaritmilor avem a,x>0,a,x\neq 1. Deci a,x\in (0;1)\cup (1,\infty), pentru care avem ax>0,\frac{a}{x}>0,\frac{x}{a}>0, adica sunt verificate si conditiile de existenta ale radicalilor.

    xor_NTG wrote:
    \sqrt {\frac{{\left( {y + 1} \right)^2 }}{{4y}}} + \sqrt {\frac{{\left( {y - 1} \right)^2 }}{{4y}}} = a \\

    Sa ne jucam cu conditiile de existenta 😀. Pentru ca cele doua fractii sa existe avem 4y>0 \Leftrightarrow y>0. Deoarece (y+1)^2,(y-1)^2\geq 0, pentru ca cei doi radicali sa existe trebuie sa avem 4y\geq 0 \Leftrightarrow y\geq 0. Asadar \fbox{y>0}.
    Sa avem in vedere faptul ca y>0 \Leftrightarrow \log_ax>0 si cum x\in(1,\infty) (caci asa parca scrie la inceput), acest lucru este echivalent cu a\in (1,\infty).

    Dupa cum ati scris, vom avea |y+1|+|y-1|=2a\sqrt y. Distingem doua cazuri:

    1. 0<y<1 \Leftrightarrow 0<\log_ax<1. Cum avem deja \log_ax>0, mai ramane doar ca \log_ax<1=\log_aa \stackrel{a>1}{\Leftrightarrow}x<a. In acest caz avem y+1-(y-1)=2a\sqrt{y} \Leftrightarrow y+1-y+1=2a\sqrt{y} \Leftrightarrow 2=2a\sqrt{y} \Leftrightarrow a\sqrt{y}=1. Ambii membri fiind pozitivi, ridicam relatia la patrat spre a obtine cea echivalenta a^2y=1 \Leftrightarrow a^2\log_ax=1 \stackrel{a>1 \rightarrow a\neq 0 \rightarrow a^2\neq 0}{\Leftrightarrow} \log_ax=\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow x=a^{\frac{1}{a^2}}. Cum a>1 \rightarrow \frac{1}{a^2}<1, avem a^{\frac{1}{a^2}}<a^1=a (conditia cazului). Mai avem de verificat x>1 \Leftrightarrow a^{\frac{1}{a^2}}>1 \stackrel{a>1}{\Leftrightarrow} \log_a a^{\frac{1}{a^2}}>\log_a 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a^2}>\log_a1=0 \Leftrightarrow \frac{1}{a^2}>0, adevarat si deci valoarea gasita pentru x este intr-adevar solutie.

    2. y\geq 1 \Leftrightarrow \log_ax\geq 1=\log_aa \stackrel{a>1}{\Leftrightarrow} x\geq a. Avem y+1+y-1=2a\sqrt{y} \Leftrightarrow 2y=2a\sqrt{y} \Leftrightarrow y=a\sqrt{y}. Cum y>0 \rightarrow \sqrt{y}>0, impartim prin \sqrt{y} spre a obtine a=\sqrt{y}. Cum ambii membri sunt pozitiv, ridicam la patrat si obtinem echivalent a^2=y \Leftrightarrow a^2=\log_ax \Leftrightarrow x=a^{a^2}. Cum a>1 \rightarrow a^2>1 \Rightarrow x = a^{a^2}>a^1=a (conditia cazului) , iar cum a>1 avem a^{a^2}>a^1>a>1, deci aceasta valoare este si ea o solutie.

    In final avem x\in \{a^{\frac{1}{a^2}},a^{a^2}\} cu a>1.

  2. xor_NTG
    maestru (V)

    Multumesc mult PhantomR!

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere!:D Sper sa fie bine.

  5. xor_NTG
    maestru (V)

    E perfect, raspunsurile coincid cu cele de la sfarsitul cartii. Va multumesc pentru ca m-ati facut sa inteleg ideea.

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Ma bucur ca v-am fost de ajutor! 🙂 Cu multa placere inca o data!

Raspunde

Raspunde