Home/ Intrebari/Q 77255
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Laur
Pe: 2012-06-17T07:48:35+03:00 In: In:

Functii

Sa se studieze injectivitatea, bijectivitatea si surjectivitatea functiilor:
a) f:R->R, f(x)={x^2 + radical din 2x, x apartine Q
{x, x apartine R/Q

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    O intrebare: Sper ca am interpretat corect ramura de sus a functiei. M-am gandit ca nu ar putea fi x^2+\sqrt{2x}, deoarece aceasta expresie este definita doar pentru x\geq 0.

    Fie functiile g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} definita prin g(x)=x^2+\sqrt{2}x,x\in\mathbb{Q} si h:\mathbb{R}-\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} definita prin h(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}.

    Pentru ca f sa fie injectiva trebuie sa avem g,h injective si \rm{Im}g\cap \rm{Im}h=\emptyset. Pentru ca f sa fie surjectiva trebuie sa avem \rm{Im}g\cup \rm{Im}h=\mathbb{R}. In plus, avem f bijectiva \Leftrightarrow f injectiva si surjectiva.

    \bullet INJECTIVITATE
    Pentru 1\in\mathbb{Q} avem g(1)=1+\sqrt{2}, iar pentru 1+\sqrt{2}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} avem h(1+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}. Deducem \rm{Im}g\cap \rm{Im}h\not = \emptyset, adica f este neinjectiva.
    \bullet SURJECTIVITATE
    Deoarece \forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} avem h(x)=x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}. functia h ia toate valorile irationale. Fie acum g(x)=y\in\mathbb{Q} \Leftrightarrow x^2+\sqrt 2x=y \Leftrightarrow \sqrt{2}x=y-x^2. Pentru x\neq 0 membrul stang ar fi irational ,iar cel drept rational. Rezulta ca x=0 este singurul punct in care g ia o valoare rationala, iar aceasta valoare este g(0)=0.

    Rezulta \rm{Im}g\cup \rm{Im}h=(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cup \{0\}\not = \mathbb{R} si deci f este nesurjectiva.
    \bullet BIJECTIVITATE
    Cum f nu este nici injectiva si nici surjectiva, rezulta f nu este bijectiva.

Raspunde

Raspunde